При решении задач теплопроводности в образце определенной
геометрии после выбора системы координат необходимо задать
условия однозначности. Это позволяет из множества решений
дифференциального уравнения выделить конкретный процесс. Условия однозначности включают в себя геометрические,
физические, временные и граничные условия. Геометрические
условия задают форму и размеры исследуемого образца. Физические условия характеризуют физические свойства образца и
окружающей среды. Временные условия указывают на
особенности протекания процесса во времени, в частности задают
начальное распределение температур. Граничные условия
определяют особенности протекания процесса на границах тела. В экспериментах исследуемый образец обменивается теплотой с
окружающей средой в различных условиях. Теплообмен может
происходить при заданном распределении температур на
поверхности образца, в этом случае известна функция
r
( )
TF = TF LF , τ , (1. 7)
7
r
где LF – вектор, характеризующий координаты точек поверхности
образца F. Условие (1. 7) называют граничным условием первого
рода. В ряде задач используется граничное условие второго рода. В
таких случаях считается известным тепловой поток qF на границах
тела
−λ
∂T
∂n
( )
r
= qF LF , τ , (1. 8)
F
где (∂T/∂n)F – производная температуры по внешней к поверхности
тела нормали, взятая при n = 0, т. е.
на поверхности тела F. 3
Третий тип граничных условий определяет простейшее
линейное условие теплообмена между образцом и окружающей
средой. Это может быть конвективный теплообмен с жидкостью
(газом) или лучистый теплообмен, который можно
охарактеризовать эффективным коэффициентом теплоотдачи α:
∂T
−λ
∂n
(
= α TF − Tокр. ср . ) (1. 9)
F
Если в задаче рассматриваются два тела и есть граница контакта
между ними, то используются дополнительные условия (условия
«сшивки»), которые выражают равенство удельных тепловых
потоков и температур в точках контакта тел. При наличии
термического сопротивления на границе тел необходимо учитывать
возникающий при этом перепад температур в зоне контакта. Уравнение теплопроводности (1. 2) с указанными условиями
однозначности решается аналитически [5, 6], численными
методами [6] или методами аналогий [3, 7]. В результате решения
получают формулы, позволяющие рассчитать экспериментальные
3
Правая часть (1. 8) – заданная функция; она положительна, если тепловой поток
отводится от тела (тело охлаждается), и отрицательна, если тепловой поток
подводится к телу.
8
значения коэффициентов теплопроводности и
температуропроводности.
1. 2.