Читать онлайн «Применение математических знаний в профессиональной деятельности. Пособие для саморазвития бакалавра в 4 ч. Ч. 4: Интегральное исчисление. Ряды. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие»

Автор Екатерина Пучкова

Из заданной первообразной F ( x ) вывести её производную f ( x ) (продифференцировать). Интегральное исчисление имеет своей основной задачей следую- щую обратную задачу: по заданной производной f ( x ) отыскать её первообразную F ( x ) (проинтегрировать). 5 Поэтому в широком смысле действие интегрирования обратно действию дифференцирования. В соответствии с действием отыскания первообразных, каждая такая первообразная F (x ) для данной производ- ной f ( x ) называется интегралом (индивидуальным) от функции f ( x ) . Дифференцирование есть действие прямое и однозначное, ибо непрерывная функция F ( x ) не может иметь двух различных произ- водных f ( x ) . Интегрирование же есть действие обратное, и подобно большинству обратных действий, оно есть действие многозначное, дающее для заданной производной f ( x ) не один только результат F ( x ) , но бесчисленное множество их. Нетрудно доказать теорему о том, что для того, чтобы две функции F1 ( x ) и F2 ( x ) имели одну и ту же производную f ( x ) , необходимо и достаточно, чтобы F1 ( x ) и F2 (x ) отличались на постоянную величину: F2 ( x ) − F1 ( x ) = C. Отсюда сразу же вытекает многозначность действия интегриро- вания, так как если для заданной производной f ( x ) удалось отыскать какую-нибудь её первообразную F (x ) , то тогда совокупность всех первообразных для f ( x ) заключена в выражении F ( x ) + C , где C – произвольное постоянное число. Выражение F ( x ) + C носит название неопределённого интеграла функции f ( x ) и обозначается символом ∫ f (x )dx . При этом F (x ) на- зывается функциональной частью неопределённого интеграла, а C – постоянной интегрирования. Пример 1. 1. Так как d 4 dx ( ) x = 4 x 3 , то функция x 4 является перво- образной для 4 x 3 , поэтому x 4 есть индивидуальный интеграл от 4 x 3 .
Такими же индивидуальными интегралами от 4 x 3 будут x 4 + 2 , x 4 − 7 и т. д. Выражение x 4 + C , где C – произвольное постоянное ∫ 4 x dx = x 3 4 число, есть неопределённый интеграл + C . Первое сла- гаемое x 4 есть функциональная часть неопределённого интеграла от 4 x 3 . Второе слагаемое C есть постоянное интегрирования, чис- ленную величину его можно брать какой угодно. Произволом постоянного интегрирования пользуются для того, чтобы из всех первообразных для данной производной f ( x ) отыскать ту, которая имеет какое-нибудь наперёд заданное свойство. 6 Так, в рассмотренном выше примере надо выбрать численное значение постоянного интегрирования так, чтобы получить первооб- разную, имеющую в заданной заранее точке x = 2 наперёд заданное численное значение y = 17 . Имеем неопределённый интеграл x 4 + C и заданное условие 4 2 + C = 17 . Тогда C = 1 . Определённый интеграл. Хотя у всякой данной производной f ( x ) имеется бесчисленное множество первообразных F ( x ) + C , все они обладают общим свойством: «приращения, получаемые первообраз- ными в концах какого-нибудь данного отрезка [a, b] , все равны друг другу».