Из заданной первообразной F ( x ) вывести её производную f ( x )
(продифференцировать). Интегральное исчисление имеет своей основной задачей следую-
щую обратную задачу: по заданной производной f ( x ) отыскать её
первообразную F ( x ) (проинтегрировать).
5
Поэтому в широком смысле действие интегрирования обратно
действию дифференцирования. В соответствии с действием отыскания
первообразных, каждая такая первообразная F (x ) для данной производ-
ной f ( x ) называется интегралом (индивидуальным) от функции f ( x ) . Дифференцирование есть действие прямое и однозначное, ибо
непрерывная функция F ( x ) не может иметь двух различных произ-
водных f ( x ) . Интегрирование же есть действие обратное, и подобно
большинству обратных действий, оно есть действие многозначное,
дающее для заданной производной f ( x ) не один только результат
F ( x ) , но бесчисленное множество их. Нетрудно доказать теорему о
том, что для того, чтобы две функции F1 ( x ) и F2 ( x ) имели одну и ту
же производную f ( x ) , необходимо и достаточно, чтобы F1 ( x ) и F2 (x )
отличались на постоянную величину: F2 ( x ) − F1 ( x ) = C. Отсюда сразу же вытекает многозначность действия интегриро-
вания, так как если для заданной производной f ( x ) удалось отыскать
какую-нибудь её первообразную F (x ) , то тогда совокупность всех
первообразных для f ( x ) заключена в выражении F ( x ) + C , где C –
произвольное постоянное число. Выражение F ( x ) + C носит название неопределённого интеграла
функции f ( x ) и обозначается символом ∫ f (x )dx . При этом F (x ) на-
зывается функциональной частью неопределённого интеграла, а C –
постоянной интегрирования. Пример 1. 1. Так как
d 4
dx
( )
x = 4 x 3 , то функция x 4 является перво-
образной для 4 x 3 , поэтому x 4 есть индивидуальный интеграл от 4 x 3 .
Такими же индивидуальными интегралами от 4 x 3 будут x 4 + 2 ,
x 4 − 7 и т. д. Выражение x 4 + C , где C – произвольное постоянное
∫ 4 x dx = x
3 4
число, есть неопределённый интеграл + C . Первое сла-
гаемое x 4 есть функциональная часть неопределённого интеграла
от 4 x 3 . Второе слагаемое C есть постоянное интегрирования, чис-
ленную величину его можно брать какой угодно. Произволом постоянного интегрирования пользуются для того,
чтобы из всех первообразных для данной производной f ( x ) отыскать
ту, которая имеет какое-нибудь наперёд заданное свойство.
6
Так, в рассмотренном выше примере надо выбрать численное
значение постоянного интегрирования так, чтобы получить первооб-
разную, имеющую в заданной заранее точке x = 2 наперёд заданное
численное значение y = 17 . Имеем неопределённый интеграл x 4 + C и заданное условие
4
2 + C = 17 . Тогда C = 1 . Определённый интеграл. Хотя у всякой данной производной f ( x )
имеется бесчисленное множество первообразных F ( x ) + C , все они
обладают общим свойством: «приращения, получаемые первообраз-
ными в концах какого-нибудь данного отрезка [a, b] , все равны друг
другу».