Читать онлайн «Цепные дроби»

В. И. Арнольд ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 2-е издание, стереотипное Москва Издательство МЦНМО 2009 УДК 511. 1 ББК 22. 130 А84 Арнольд В. И. А84 Цепные дроби — М. : Изд-во МЦНМО, 2009. — 40 с. ISBN 978-5-94057-441-5 Теория цепных дробей связана с теорией приближений веществен- ных чисел рациональными, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики. В брошюре рассказано о свя- зи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Из этой связи следует, например, что цепная дробь периодична в тех и толь- ко тех случаях, когда выражаемое ей число является корнем квадрат- ного уравнения с целыми коэффициентами. Рассказано также о том, насколько часто среди элементов цепной дроби, выражающей произ- вольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка, ... ). В заключительном разделе брошюры содержится обзор результатов, связаных с многомерными обобщениями классической теории цепных дробей, полученных в последнее время. Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором для школьников 9—11 классов 2 декабря 2000 года на Малом мехмате МГУ. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших кур- сов, учителей, а отчасти она будет интересна и профессиональным ма- тематикам. Первое издание книги вышло в 2001 году. ББК 22. 130 Серия «Библиотека „Математическое просвещение“» Арнольд Владимир Игоревич ЦЕПНЫЕ ДРОБИ Выпуск 14 Серия основана в 1999 году Редакторы В. А. Клепцын, Е. Н. Осьмова Художник П. М. Юрьев Тех. редактор Д. Е. Щербаков Подписано к печати 22/XII 2008 г. Формат 60 × 901/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Объём 2,50 + 0,25 (вкл. ) печ. л. Тираж 1000 экз. Заказ . Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Большой Власьевский пер. , 11. Тел. (495) 241 74 83. Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука“». 119099, Москва, Шубинский пер. , 6. © В. И. Арнольд, 2009. ISBN 978-5-94057-441-5 © Издательство МЦНМО, 2009. ЧТО ТАКОЕ ЦЕПНАЯ ДРОБЬ Теория цепных дробей — одна из древнейших математических теорий. Чтобы показать, что такое цепная дробь, начнём с простого 10 примера. Возьмём дробь . Наибольшее целое число, не превосхо- 7 дящее эту дробь — это 1:   10 3 3 =1+ <1 . 7 7 7 3 «Перевернём» дробь : 7 10 3 1 =1+ =1+ 7 . 7 7 3 7 Наибольшее целое число, не превосходящее дробь — это 2. Полу- 3 чаем: 10 3 1 1 7 =1+ 7 =1+ 7 =1+ . 3 2+ 1 3 10 Это и есть цепная дробь для числа , которая, между прочим, 7 10 даёт очень хорошие приближения: довольно близко к 1, но если 7 1 1 хотите точнее, то это примерно 1 + , ну а 1 + — это точное 2 2 + 13 значение.