Читать онлайн «Необыкновенная алгебра»

ЗТопгрдрныс лекции ПО МАТЕМАТИКЕ И. М. ЯГЛОМ НЕОБЫКНОВЕННАЯ АЛГЕБРА щ ш ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 45 и. м. яглом НЕОБЫКНОВЕННАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1968 512 Я 29 УДК 512 АННОТАЦИЯ Брошюра излагает основные понятия, относя- относящиеся к учению о так называемых «алгебрах Буля», играющих большую роль в математической логике и весьма важных для всех направлений современ- современной математики, связанных с электронными вычислительными машинами и кибернетикой. В брошюре дается определение алгебры Буля и приводятся многочисленные примеры таких алгебр; в частности, специально рассматривается алгебра высказываний и указываются пути исполь- использования что Л своеобразно) алгебры для авто. ми тизации математических доказательгтв Бро- Брошюра содержит достаточное число упражнений (сопровождаемых ответами, помещенными в конце брошюры). доставляющих читателю возможность контроля над усвоением материала и самопро- самопроверки. Брошюра может Сыть использована в работе школьного математического кружка; она будет с интересом прочитана не только школьниками средних G,-0, 8-го) классов, но и школьниками- старшеклассниками. 2-2-2 149-ВЬ СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 4 § I. Алгебра чисел и алгебра множеств 5 § 2. Алгебра Буля 19 § 3. Дальнейшие свойства алгебр Буля: принцип двойственности булевские равенства и нера- неравенства 31 § 4. Множества и высказывания; алгебра высказы- высказываний 44 § 5. «Законы мысли» и правила вывода 52 § 6. Высказывания и контактные схемы 58 Приложение. Определение алгебры Буля 66 Литература 68 Ответы и указания к упражнениям 69 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая брошюра довольно точно воспроизводит со- содержание лекции, прочитанной автором 20 апреля 1966 г. учащимся 8-х классов московских школ — участникам XXIX Московской математической олимпиады. Основное отличие этой брошюры от лекции заключается в том, что здесь каждый параграф завершается (весьма, впрочем, немногочисленными) упражнениями, более трудные из ко- которых отмечены звездочками; в конце книжки имеются от- ответы и указания к некоторым из упражнений. Я очень ре- рекомендую читателю обязательно решить, если не все, то во всяком случае большинство из этих упражнений,— лишь после этого можно быть уверенным, что содержание брошюры действительно усвоено. Мелкий шрифт, как обычно, озна- означает, что соответствующее место при первом чтении может быть пропущено; однако напечатанный мелким шрифтом § 6, по-моему, заслуживает того, чтобы каждый читатель внимательно проработал его, если не при первом, то при повторном чтении книги. При составлении брошюры были частично использованы статьи автора: «Алгебра множеств и алгебра высказыва- высказываний» (Детская энциклопедия, т. II, «Просвещение», 1964, стр. 383—396) и «Алгебры Буля» (Сборник «О некоторых вопросах современной математики и кибернетики», «Просве- «Просвещение», 1965, стр. 230—324).