Читать онлайн «Математика — это просто! Доказательства»

те ти А. КУПИППАРИ Математика— это просто! Доказательства Перевод с английского С. А. Кулешова ТЕХН ОСФЕРА Москва 2006  Купиллари А. Математика — это просто! Доказательства Москва: Техносфера, 2006. — 304с. ISBN 5-94836-083-0 В книге, которую Вы держите в руках, рассказано о правиль- ной стратегии изучения математики. Освоив ее, Вы сможете са- мостоятельно подготовиться к вступительным экзаменам даже по школьным учебникам, не прибегая к скучным пособиям. Здесь объясняется сущность доказательств (различного типа утверждений) на простых и интересных примерах. Кроме того, книга снабжена приложением, которое перекидывает мостик от школьной математики к высшей. Знакомство с ним поможет поступившим лучше воспринимать лекционный материал и удержаться в институте. Книга предназначена старшеклассникам, абитуриентам, пер- вокурсникам и всем, кто хочет избавиться от головной боли, возникающей при упоминании о математике. © 2001, Academic Press © 2006, ЗАО "РИЦ "Техносфера", оригинал-макет, оформление, дополнение ISBN 5-94836-083-0 ISBN 0-12-199451-1 (англ. )  Содержа ыие Предисловие Предисловие автора . К читателю . Список обозначений Некоторые свойства чисел Некоторые свойства функций Введение и основная терминология Общие советы Техника, используемая при доказательстве теорем вида «из А следует Б» . Прямое доказательство Зависимые утверждения Доказательство «от противного» . Как построить отрицание утверждения пражнения Теоремы специального вида . «Тогда и только тогда» или теоремы равносильности У пражнения Контрпримеры Упражнения Метод математической индукции . У пражнения Теоремы существования . Упражнения Теоремы единственности Упражнения Равенство множеств . 10 12 14 20 25 2 4 4 4 54 62 62 74 5 1 101 1 110  Содержание Упражнения Равенство чисел Упражнения Составные утверждения Составные предположения . Составные заключения... Упражнения Упражнения для повторения . Упражнения без решений Подборка доказательств Решения упражнений . «Из А следует Б» Теоремы равносильности Контрпримеры Метод математической индукции Теоремы существования Теоремы единственности . . Равенство множеств Равенство чисел . . Составные утверждения Упражнения для повторения Приложение Сравнение множеств . Упражнения Предел последовательности . . Упражнения 1 1 1 1 1 1 138 14 14 1 164 165 171 1 181 188 192 196 203 206 208 234 234 257 258 299  П редисловие «Не понимаю, как можно шарить в математике!» вос- кликнул постовой ГИБДД, узнав, что водитель — доктор фи- зико-математических наук и может решить любую задачу из школьного курса. К сожалению, мнение о математике как об очень сложном и скучном предмете распространено среди боль- шинства людеи, окончивших школу в последнее десятилетие. Не секрет, что уровень школьного образования в России по- стоянно падает. И в первую очередь этот процесс затрагивает точные науки, в частности, математику. Причины, по которым интерес к математике неуклонно снижается, связаны не только с политикои правительства, ко- торое махнуло рукои на образование и науку в нашеи стране, но и с перенасыщенной школьной программой.