Читать онлайн «О решении уравнений высших степеней (метод штурма)»

A . Г. Хованский СП. Чулков ГЕОМЕТРИЯ ПОЛУГРУППЫ Z™0 ПРИЛОЖЕНИЯ К КОМБИНАТОРИКЕ, АЛГЕБРЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ■BSMMt 1 А. Г. ХОВАНСКИЙ, С. П. ЧУЛКОВ ГЕОМЕТРИЯ ПОЛУГРУППЫ Z^0 ПРИЛОЖЕНИЯ К КОМБИНАТОРИКЕ, АЛГЕБРЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Москва Издательство МЦНМО 2006 УДК 512. 53+512. 7+517. 951 Издание осуществлено ББК 22. 14 при поддержке РФФИ Х68 (издательский проект № 06-01-14026). -Ф- и Хованский А. Г. , Чулков С. П. Х68 Геометрия полугруппы Z>0. Приложения к комбинаторике, алгебре и дифференциальным уравнениям. — М. : МЦНМО, 2006. -128 с: ил. ISBN: 5-94057-243-Х Книга посвящена геометрии вполне упорядоченных полугрупп и ее приложениям в различных областях математики. В частности, в ней рассмотрены: конструкция базисов Грёбнера, различные описания функций Гильберта модулей над полугрупповой алгеброй вполне упорядоченной полугруппы, теорема Кушниренко о числе решений системы полиномиальных уравнений и другие вопросы. Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей. ББК 22. 14 © Хованский А. Г. , Чулков С. П. , 2006 ISBN 5-94057-243-Х © МЦНМО, 2006 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 ЧАСТЬ I ГЕОМЕТРИЯ И КОМБИНАТОРИКА ПОЛУГРУПП Глава 1. Элементарная геометрия полугруппы Z^0 18 §1. 1. Идеалы в полугруппе Z>0 18 § 1. 2. Модули над полу групповой алгеброй. Модельный пример: идеалы в кольце многочленов 20 §1. 3. Упорядоченная полугруппа Z>0 29 Глава 2. Свойства упорядоченных полугрупп 35 §2. 1. Действие упорядоченных полугрупп на множествах ... 36 §2. 2. Модули над полугрупповой алгеброй вполне упорядоченной полугруппы 38 Глава 3. Функции Гильберта и их аналоги 43 §3. 1. Функции Гильберта модулей над кольцами полиномов . 44 § 3. 2. Функции Гильберта и целые точки в рациональных многогранниках 47 § 3. 3. Сумма значений характера 51 §3. 4. Описание функций Гильберта Z>0-коидеалов: теорема Маколея и ее следствия 58 ЧАСТЬ II ПРИЛОЖЕНИЯ Глава 4. Теорема Кушниренко о числе решений общей системы полиномиальных уравнений; группы Гротендика полугрупп конечных множеств в Zn и компактных подмножеств в Rn 73 §4. 1. Необходимые сведения из алгебраической геометрии ... 73 §4. 2. Теорема Кушниренко 74 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. 3. Группы Гротендика полугрупп конечных множеств в Zn и компактных подмножеств в Rn 75 Глава 5. Дифференциальные базисы Грёбнера и аналитическая теория дифференциальных уравнений в частных производных 78 §5. 1. Введение 78 §5. 2. Отображение Грёбнера и базисы дифференциальных идеалов 79 § 5. 3. Формальные решения 85 § 5. 4. Теорема сходимости и ее следствия 89 § 5. 5. Примеры и замечания 90 Глава 6. Сходимость формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных 96 §6. 1. Введение 96 §6. 2. Формулировка результата 98 § 6. 3. Доказательство теоремы 1 100 § 6. 4. Примеры и замечания 107 Приложение. Полиномы Гильберта и Гильберта—Самюэля и уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами 109 § 1. Введение 109 §2. Формальные решения системы 110 §3. Символ системы как алгебраическое многообразие . . . . 114 §4.