Читать онлайн «Преследование на плоскости»

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 61 Л. Л. ПЕТРОСЯН, Б. Б. РИХСИЕВ ПРЕСЛЕДОВАНИЕ НА ПЛОСКОСТИ МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ i 991 ББК 22. 18 П31 УДК 519. 7 Рецензент доктор физико-математических наук М. С. Никольский Петросян Л. А. , Рихсиев Б. Б. П31 Преследование на плоскости. — М. : Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. , 1991,—96 с. —(Попул. лекции по мат. ; Вып. 61). ISBN 5-02-014154-2. Содержит популярное изложение элементов теории диф- дифференциальных игр и некоторых геометрических способов решения игр преследования на плоскости, базирующихся на использовании стратегии параллельного сближения (П-стра- тегия). Для конкретных задач преследования приведены и обоснованы оптимальные способы поведения преследующе- преследующего и убегающего игроков. И назад оглянуться не смел ты, бегущий! С гор убежал ты и в стены Лирнесса укрылся; но в прах я Град сей рассыпал, ударив с Афиной и Зевсом Кронидом. Гомер. Илиада, Песнь двадцатая, строки 187—192 ВВЕДЕНИЕ Лиса Р гонится за кроликом Е*). Естественно, лиса стремится поймать кролика за кратчайшее время, а кро- кролик стремится избежать поимки. Если лиса и кролик имеют возможность изменять направление своего движе- движения как угодно, то очевидно, что кролик будет убегать по прямой от лисы, а лиса будет направлять свое движе- движение на кролика, В результате лиса и кролик будут пере- перемещаться вдоль прямой, соединяющей их начальные по- положения (рис. 1). Однако даже в случае, когда Р и Е Рис. 1 будем считать точками, для математического обоснова- обоснования этого, на первый взгляд тривиального, результата оказывается необходимым доказать ряд вспомогательных *) Первые буквы английских слов соответственно pursuier*** преследователь, evader — убегающий. 1* 3 теорем из элементарной планиметрии. Задача усложняет- усложняется, если точки Р и Е могут перемещаться лишь внутри некоторого выпуклого множества на плоскости, т. е. ког- когда лиса преследует кролика на огражденном участке, или если в преследовании участвует несколько точек (лис) Pi, P2, ... , Рт. Здесь возникают новые математические задачи, многие из которых не решены и в настоящее время. В предлагаемой книге в доступной форме излагаются различные задачи преследования, в которых участвуют объекты, совершающие простое движение на плоскости. Простым движением называется движение с постоянной но величине скоростью, при этом направление движения может изменяться произвольным образом. Определение наилучших способов преследования и убегания, выясне- выяснение самой возможности встречи — вот основные вопросы, которые возникают при изучении конфликтных задач пре- преследования по существу.