Читать онлайн «Элементарное введение в теорию интегралов»

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА Г. П. АКИЛОВ, Б. М. МАКАРОВ, В. П. ХАВИН ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНТЕГРАЛА Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР в качестве учебного пособия для студентов государственных университетов ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1969 Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Ленинградского университета В книге излагается материал, обычно изучаемый на I и II курсах физико-математических факультетов университетов (интегральное исчисление, в частности кратные и несобственные интегралы). Изложение основано на современной теории меры, которой посвящена глава I. Необходимые для понимания книги- сведения из смежных разделов анализа (элементы теории множеств, суммируемые числовые семейства,, дифференцируемые отображения евклидовых пространств) составляют содержание трех добавлений. Книга предназначена для студентов младших курсов и для лиц, занимающихся самообразованием. Отв. редактор С. А. Виноградов 2—2—3 61—68 ПРЕДИСЛОВИЕ Современная теория меры и интеграла очень полно и всесторонне освещена в многочисленных и прекрасных руководствах. Однако, насколько нам известно, среди этих руководств нет такого, которое было бы предназначено специально для студентов младших курсов. Между тем теория интеграла достигла такой законченности, ясности и простоты, что ею вполне может овладеть студент-второкурсник. В то же время принятый в университетских учебниках анализа способ изложения разделов, посвященных интегралу, устарел и не соответствует представлениям, прочно вошедшим в математику. Ведь не случайно преподаватели нескольких университетов (Московского, Ленинградского, Новосибирского), не сговариваясь между собой, приступили к основательной перестройке курса анализа, начав эту перестройку с теории интеграла. Согласно давно установившейся традиции, в университетских курсах анализа до недавнего времени учащихся впервые знакомили с интегралом как с интегралом Римана по промежутку числовой прямой. На этой основе, учащиеся изучали приемы вычисления интеграла и его приложения. Затем излагалась' (обычно гораздо менее отчетливо и аккуратно) теория кратных интегралов, причем двойные интегралы вводились отдельно от тройных, а тройные — отдельно от «многократных». Изучались еще так 'называемые несобственные интегралы, причем «несобственным» считался, например, интеграл по бесконечному промежутку, независимо от того, суммируема на этом промежутке подын- 3 тегральная функция или нет. Кроме того, сообщались еще некоторые сведения об интегралах Стилтьеса и об интегралах по поверхностям и кривым. Все это происходило на первых двух курсах. Таким образом, к концу второго года обучения теория интеграла представала перед учащимися как нечто чрезвычайно пестрое (ведь он изучил по крайней мере десять разновидностей интеграла). Затем, обычно на III курсе, студент знакомился с современными концепциями интеграла (иногда, правда, только с интегралом по мере Лебега) в курсе теории функций вещественной переменной, которая обычно не сопровождалась упражнениями и не связывалась со сведениями, полученными на первых двух курсах.