Читать онлайн «Математика, ее содержание, методы и значение. Том 2»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА МАТЕМАТИКА. ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ, МЕТОДЫ И ЗНАЧЕНИЕ ТОМ ВТОРОЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР МОСКВА 1 И 5 fi РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: члея-корр. АН СССР А. Д. АЛЕКСАНДРОВ, академик А. Н. КОЛМОГОРОВ, академик М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ Глава V ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. ВВЕДЕНИЕ Примеры дифференциальных уравнений. Уравнения, с которыми мы встречались до настоящего времени, служили преимущественно для отыскания численных значений тех или иных величин. Так, при разы- разыскании максимума и минимума функции мы, решая уравнение, нахо- находили те точки, в которых скорость изменения функции обращается в нуль; в главе IV (том 1) рассматривалась задача нахождения корней много- многочленов и т. п. При этом всякий раз отыскивались из уравнения отдельные числа. Однако в приложениях математики часто возникают качественно новые задачи, в которых неизвестной является сама функция, сам закон зависимости одних переменных от других. Например, изучая процесс охлаждения тела, мы должны определить, как будет изменяться с течением времени его температура; при определении движения пла- планеты или звезды нам необходимо определить зависимость их координат от времени и т. д. Довольно часто мы можем построить уравнение для нахождения нужных нам неизвестных функций — такие уравнения называют функ- функциональными. Природа их может быть, вообще говоря, весьма разно- разнообразной (можно сказать, что с простейшими, самыми примитивными функциональными уравнениями мы уже встречались, рассматривая неяв- неявное задание функций). Задачам разыскания неизвестных функций будут посвящены главы V, VI и VIII. В этой и следующей главе будут рассмотрены, пожалуй, наиболее важные из уравнений, служащих для разыскания функций — так называемые дифференциальные уравнения. Под этим назва- названием понимают уравнения, в которые входит не только сама неизвест- неизвестная функция, но и ее производиые некоторых порядков. Нижеследующие равенства могут служить примерами дифферен- дифференциальных уравнений: 4? g A) at 'Ш' W Ш' д&^~ду* — 4 Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения В первых трех из них неизвестная функция обозначена буквой х, а буквой t — независимое переменное; в последних же трех неизвестная функция обозначена буквой и, и она зависит от двух . аргументов х и t или х и у. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняется главным образом тем, что к решению таких уравнений может быть приведено исследование многих физических проблем и технических задач. Расчеты электрических машин и радиотехнических установок, вычис- вычисление траекторий снарядов, исследование устойчивости самолета в полете или течения химической реакции — все это производится путем реше- решения дифференциальных уравнений. Весьма часто бывает, что физические законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в форме дифференциальных урав- уравнений и сами дифференциальные уравнения являются средством для точного количественного (числового) выражения этих законов.