Читать онлайн «Основы классического и современного математического анализа [Учеб. пособие для мат. спец. ун-тов]»

И. И. Ляшко, В. Ф. Емельянов, А. К. Боярчук ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОГО И СОВРЕМЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Киев: Выща шк. Головное изд-во, 1988. — 591 с. В пособии изложен математический анализ с основами теории функций комплексной и действительной переменных, а также некоторые разделы функционального анализа. Дифференциальное исчисление пос« троено на идеях Ферма — Лагранжа. В интегральном исчислении введен в рассмотрение интеграл Ньютона — Лейбница и показаны его приложения. Проведено сравнение интегралов Ньютона — Лейбница, Коши, Римана, Дарбу и Лебега. По-новому излагаются теории интеграла Лебега, рядов Фурье обобщенных фулкций, дифференциальных форм и другие вопросы. Теоретический материал иллюстрируется многими примерами. Даны упражнения для самостоятельного решения. Для студентов математических специальностей университетов. Предисловие 5 1. Грани множеств и предел последовательности 9 § 1. Элементы теории множеств и отображений 9 § 2. Отношение порядка. Понятие частично упорядоченного 22 пространства § 3. Верхняя и нижняя грани множества в частично упорядоченном 23 пространстве § 4. Топология упорядоченного пространства 26 § 5. Топологическое свойство граней множества. Полные пространства 28 § 6. Последовательность, ее предел и порядковые свойства предела 30 § 7. Связь между гранями множеств и пределом последовательности. 32 Теорема Вейерштрасса § 8. Последовательность. Частичный предел последовательности. 35 Верхний и нижний пределы § 9. Существование монотонной подпоследовательности. Теоремы 37 Больцано — Вейерштрасса и Кантора 2. Действительные и комплексные числа 39 § 1. Аксиоматическая теория действительного числа 39 § 2. Числовая последовательность и ее предел 50 § 3. Теория действительного числа по 58 § 4. Комплексные числа 68 3. Сумма и произведение числового семейства. Числовой ряд и 73 бесконечное произведение § 1. Сумма семейства чисел и ее свойства 73 § 2. Вычисление сумм с помощью предела 88 § 3. Признаки суммируемости последовательности комплексных чисел 89 § 4. Произведение семейства комплексных чисел 93 § 5. Числовые ряды 96 § 6. Теорема Римана о перестановке членов ряда Бесконечные 103 произведения 4. Последовательности функций и функциональные ряды. 109 Степенные ряды и § 1. Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная 109 сходимость § 2. Равномерная норма функции. Равномерная сходимость 110 последовательности функций и функционального ряда § 3. Степенные ряды 117 § 4. Элементарные функции 122 5. Предел и непрерывность функции 127 § 1. Предел и непрерывность функции по Гейне 127 § 2. Полунепрерывные функции. Предел и непрерывность функции в 135 смысле Коши § 3. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора 137 § 4. Обратные элементарные функции. Приемы решения задач 138 § 5. Равностепенная непрерывность 143 6. Производная и интеграл 151 § 1. Производная 151 § 2. Физический и геометрический смысл производной. Теоремы Ролля, 159 Дарбу Лагранжа § 3. Интеграл Ньютона — Лейбница 165 § 4. Дифференцирование и интегрирование предела последовательности 173 функций и суммы функционального ряда § 5.