Читать онлайн «Справочное пособие по высшей математике»

Глава 1 Введение в анализ § 1. Элементы теории мнолсеств 1. 1. Логические символы. В математике часто некоторые словесные выражения заменяют посредством символов. Так. например, символом V заменяют выражение "для произвольного", или "для любого", или "какого бы ни было", а символом Э — выражение "существует", или "найдется". Символы V и Э называются кванторами. Запись А => В (импликация) означает, что из справедливости высказывания А вытекает справедливость высказывания В. Если, кроме того, из справедливости высказывания В вытекает справедливость А, то записываем А & В. Если А & В, то высказывание В является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание А. Если предложения А к В справедливы одновременно, то записываем А А В. Если же справедливо хотя бы одно из предложении А или В, то записываем Л V В. 1. 2. Операция над множествами. Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит. Множество обозначают символом А — {х}, где х — общее наименование элементов множества А. Часто множество записывают в виде А = {а, 6, с,... }, где в фигурных скобках указаны элементы множества А. Будем пользоваться обозначениями: М — множество всех натуральных чисел; Ъ — множество всех целых чисел; Q — множество всех рациональных чисел; К — множество всех действительных чисел; С — множество всех комплексных чисел; So — множество всех неотрицательных целых чисел. 6 Гл. 1. Введение в анализ Если А С J< В С i7. то иногда дополнение множества В к множеству А называют разностью множеств Ан Д и обозначают А\В (рис. 3), т. е. А\В = {х:х€АЛх<£ В]. Пусть А и В подмножества множества J. Определение 3. Объединением множеств А и В называется множество (рис. 4) All В = {х : х € AV г € В). Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. в Аналогично, если A,, J = 1, ", подмножества множества J, то их объединением буде-i м ноже ел во [J А} = {х : х е At V х £ А2 V ... V х € А,,}. Определение 4. Пересечением подмножеств А и В называется множество (рис. 5) Л П tf{z :ieAAr£fl|. Аналогично, символом |~] Л7 обозначают пересечение подмножеств A,,j — 1, », множе ства 3, т. е. множество Г) А} = {х ; х <Е Л} Л х £ Ai Л ... ЛгеА„}. Если каждому II 6 Af сопоставлено некоторое множество Л,,, то говорят, что задано семейство множеств {А,,}, ц £ М , В атом случае множество |J Ац = {х : все г такие, что i Е Лн хотя бы для одного ft € А/} называют объединением семейства множеств {Л,,}, /' 6 . И, а множество f*\ А,, = {х . я: е Л,, V/i £ М) — пересечением этого семейства. Определении 5. Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество, определяемое объединением разностей А\В и В\А (рис. ft). Симметрическую разность обозначают символом А Д В. Определен И*- б. Два элемента а и ii называются упорядоченной парой, если указано, какой из . чин г . цементов первый, какой второй, при этом ((«, 6) = (с, d)) *(o = cAli-(J). Упорядоченную H. ipy элементов а и 6 обозначают символом [а, Ь).