Читать онлайн «Классическая проблема моментов»

Н. И. АХИЕЗЕР КЛАССИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА, СВЯЗАННЫЕ С НЕЮ т ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 196 1 АННОТАЦИЯ Проблема моментов связана с многими вопросами математического анализа и теории функций: квадратурными формулами, непрерывными дробями, ортогональными полиномами, интерполяционными задачами теории ункций комплексного переменного, квазианалитическими классами и абсолютно монотонными функциями, спектральной теорией операторов и мн. др. Настоящая книга предназначена широкому кругу читателей, начиная со студентов старших курсов и аспирантов физико-математических специальностей университетов и пединститутов, преподавателям математических факультетов университетов и пединститутов, а также научно-исследовательским работникам в области анализа, теории функции, теории вероятностей и др. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава I. Бесконечные якобиевы матрицы и принадлежащие им многочлены 9 § 1. Основные понятия 9 § 2. Свойства многочленов, связанных с якобиевой матрицей 18 § 3. Теоремы инвариантности и аналитичности ... . 25 § 4. Квадратурная формула. Непрерывные дроби ... 32 Дополненияи задачи 37 Глава II. Степенная проблема моментов 42 § 1. Критерий разрешимости 42 § 2. Изометрический оператор, порождаемый ортогональными многочленами 48 § 3. Некоторые критерии полноты 58 § 4. Функция q(z), матрицы Неванлинны 66 § 5. Экстремальные свойства функций qu (z) и q(z) . . 79 % 6. Метод М. Рисса 89 Дополнения и задачи 103 Глава III. Теоретико-функциональные методы в проблеме моментов 115 § 1. Интерполяционная проблема теории аналитических функций 115 § 2. Сведение степенной проблемы моментов к некоторой проблеме теории функций 121 § 3. Алгорифм последовательных дробно-линейных преобразований 128 § 4. Канонические решения неопределенной проблемы моментов Гамбургера 143 Дополненияизадачи 155 Глава IV. Включение степенной проблемы моментов в спектральную теорию операторов 172 § 1. Операторный подход к проблеме моментов ... . 172 | 2. Симметрические операторы, представимые при помощи ^-матриц 182 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Интегральное представление позитивного функционала 190 Дополнения и задачи 201 Глава V. Тригонометрические и континуальные аналоги 220 § 1. Тригонометрическая проблема моментов 220 § 2. Ортогональные полиномы на окружности 224 § 3. Эрмитово-позитивные функции одного аргумента . . 235 § 4. Эрмитово-позитивные функции в многомерных пространствах 239 § 5. Абсолютно монотонные и экспоненциально выпуклые функции 250 Дополнения и задачи 262 Добавление. Непрерывные дроби Стилтьеса 287 Литература 299 Алфавитный указатель 308 ПРЕДИСЛОВИЕ Термин проблема моментов впервые встречается у Т. Стилтьеса в работе 1894—1895 гг. Однако одну важную задачу, относящуюся к проблеме моментов, поставил и в частном случае решил еще в 1873 г. П. Л. Чебышев. К своей задаче П. Л. Чебышев неоднократно возвращался в течение всего последнего периода своей жизни. Всесторонним изучением задачи П.