Читать онлайн «Справочник по высшей математике»
Автор Гусак А.А.
В случае области второго рода S2
d V2W
jjf(x,y)dS = jdy jf(x,y)dx (19. 4)
S с VlW
в предположении, что наряду с двойным интегралом существует определенный
интеграл по х при постоянном у. У*
d
V
О
щ
|ттттг|В2
1ШРв,
j jy=,(*)
VlCv)
По этой формуле осуществляется изменение порядка интегрирования при
вычислении соответствующего двойного интеграла. Пусть область S является прямоугольником со сторонами, параллельными
осям координат, причем a<,x<,b,c<:y<,d (рис. 19. 5), обозначим
его так: S = [a,b;c,d]. Если функция f(x, у), удовлетворяет в этом прямоугольнике условиям, о
которых говорилось выше, то
* d
jjf(x,y)dS = jdxjf(x,y)dy, (19. 5)
a d
$ f(x, y)dS = l
Вычислить 11 x2ydxdy, S - область, ограниченная
линиями у = -х2, х = у2. Данные линии пересекаются в двух точках 0(0,0), М(1,-1) (рис. 19. 6). Область S
можно рассматривать как область первого вида St и как область второго вида . %. Рассматривая ее как область первого вида, получаем следующие пределы
интегрирования я = 0, 6 = 1, у = У1(х) = ~Jx, у = <р2(х) = -х2. По формуле (19. 3) имеем
jjx2ydxdy = jdx jx2ydy. Так как
jx2ydy =
х2у2
-Гх
г*
У"Х х2 (-х2)2
2
2(-У^)
=-,£
2 х6 х3
2'
то
о -V? оv J v
Следовательно, 11 x2ydxdy = —-.
_L_I = __L
14 8 56
Замечание. Рассматривая данную область как область второго вида,
находим следующие пределы интегрирования: с = -1, d = 0, x = \pt(y) = y2,
JC = V20') = v^'' поэтому
о -f-y
\\x2ydxdy=\dy \x2ydx. S -1 yf
Вычислив повторный интеграл, получим тот же результат.
325
Пример 19. 4. Вычислить двойной интеграл 11 x2y3dxdy, где S —
s
прямоугольник [1,3; 2,4]. Подынтегральная функция представляет собой произведение функции только от х
на функцию только от у, т. е. х2у3 = <р (х) \|/0>), гДе <р(х) = х2, у(у) = у3, поэтому
при вычислении двойного интеграла можно пользоваться формулой (19. 7):
3 4 3 4
[Тх2y3dxdy = f dx \x2y3dy = \x2dx \y3dy =
X
T
У_
4
1 2
4
= -(27-l)(64-4) = 520. Рис. 19. 7
Пример 19. 5. Вычислить 11 e y dxefy, где S —
s
треугольник с вершинами О (0,0), А (0,1), В (1,1). Данная область ограничена прямыми у = х,х = 0,у=1
(рис. 19. 7). Рассматривая ее как область первого вида, находим
1 1
j\e-yldxdy=\dx\e-},2dy. S Ох
Интеграл I е~у dy является «неберущимся» интегралом. Мы не можем выразить его через элементарные функции. Поменяв порядок интегрирования, получим
1 У
[[e-^dxdy = J dy [e'^dx.
)e-Sdx =
о
11 e~y dxdy = I ye~y dy — e~y
Так как
г\у г
-xe'y I =ye y , то
lo
l
= -—+- = 0,3161.
2e 2
19. 3. Замена переменных в двойном интеграле.
