Читать онлайн «Элементарное введение в математическую логику. Пособие для учителей»

А. А. СТОЛЯР Элементарное введение в математическую ЛОГИКУ ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРОСВЕЩЕНИЕ Москва 1965 ОТ АВТОРА Современная математическая логика благодаря своим многочисленным приложениям в самых разнообразных областях науки и техники (к сложным проблемам оснований математики, к проблемам лингвистики, к конкретным задачам синтеза автоматов и др. ) привлекает внимание широкого круга людей различных специальностей, в том числе и учителей математики средней школы. Элементы математической логики и некоторые ее приложения включаются в программу средних школ с математической специализацией. , они могут служить интересным материалом для внеклассной работы с учащимися старших классов любой средней школы. Нам представляется, что элементы математической логики в недалеком будущем станут обязательным пунктом школьной программы. В последнее время у нас вышел ряд монографий и сборников статей по математической логике. Некоторые из них указаны в списке литературы, помещенном в конце настоящей книги. Однако почти отсутствует литература по математической логике, доступная для учителей математики средней школы. В настоящей книге автор поставил перед собой задачу да*ть для этого широкого круга читателей элементарное изложение начал математической логики и некоторых ее приложений. Учитывая, что под названием «математическая логика» в настоящее время объединяется весьма обширная и глубокая научная проблематика, что в состав математической логики, кроме классической логики высказываний и предикатов, начала которых излагаются в этой книге, входит ряд других логических систем и теорий (конструктивная логика, системы модальной логики, многозначные логики, теория алгоритмов и др. ), настоящая книга не может рассматриваться как введение в математическую логику в целом. Однако ознакомление с изложенным в ней материалом облегчит читателю, желающему серьезно изучить предмет, чтение литературы, рекомендованной в конце книги для этой цели1. В книге имеются и упражнения для самостоятельной работы читателя. Автор выражает глубокую благодарность Ю. A. F а с т е в у, советы которого оказали ему большую помощь в работе над рукописью. 1 Ссылки на эту литературу в сносках обозначаются соответствующим порядковым номером в квадратных скобках [ 1. ВВЕДЕНИЕ 1. Математическая логика — это по существу современная формальная логика. Основоположником формальной логики считается древнегреческий философ Аристотель (384—322 гг. до н. з. ), впервые разработавший теорию дедукции, т. е. теорию логического вывода. Ему принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в наших рассуждениях одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой, структурой, независимо от их конкретного содержания. Рассуждения совершенно различного конкретного содержания, применяемые в различных областях науки, и повседневной жизни, могут иметь одну и ту же структуру» одну и ту же форму. Например, рассуждения (а) квадрат — ромб, ромб — параллелограмм, следовательно, квадрат — параллелограмм; (б) натуральное число — целое, целое число — рациональное, следовательно, натуральное число — рациональное; (в) дуб — дерево, дерево — растение, следовательно, дуб — растение, столь различные по содержанию, как нетрудно заметить, имеют одну и ту же форму (структуру).