Читать онлайн «Домашняя работа по геометрии за 10 класс»

Домашняя работа по геометрии за 10 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А. В. Погорелов, М. : «Просвещение», 2001 г. 3  Оглавление §15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 4 §16. Параллельность прямых и плоскостей... ... ... ... ... . 10 §17. Перпендикулярность прямых и плоскостей... ... . . 29 §18. Декартовы координаты и векторы в пространстве ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 65 4  §15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 1. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекают- ся. 1 Допустим, что AB и CD пересекаются, тогда по аксиоме 3 через них можно провести плоскость и в ней лежат все четыре точки, что противоречит условию задачи. Так что AB и CD не пересекаются. Что и требовалось доказать. 2. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Ответ объясните. Можно. Пусть прямые a и b пересекаются в точке C и лежат в плоскости α (аксиома 3). Тогда возьмем точку D вне плоскости α (по аксиоме 1) и рассмотрим прямую CD. Эта прямая и не принад- лежит плоскости α, а плоскость, содержащая прямые a и b, единст- венная (аксиома 3). Значит, прямая CD – удовлетворяет условию за- дачи. 1 Условия заданий приводятся в учебных целях и в необходимом объеме как ил- люстративный материал. Имя автора и название цитируемого издания указаны на ти- тульном листе данной книги. (Ст. 19 п. 2 закона РФ об авторском праве и смежных правах от 9 июня 1993 г. ). 5  3. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на од- ной прямой. По аксиоме 2, так как α и β имеют общие точки А, В и С, то плоскости α и β пересекаются по прямой, которая содержит эти точки. Следовательно, А, В, С принадлежат одной прямой. Что и требовалось доказать. 4. Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пе- ресечения этих плоскостей пересекаются, то тре- тья прямая проходит через точку их пересечения. b a Допустим плоскости α и β пересекаются по прямой а, а плоско- сти β и γ — по прямой b, причем прямые а и b пересекаются в точке С. Тогда по аксиоме 2 точка C принадлежит всем трем плоскостям α, β, γ, а значит, и третьей прямой с пересечения плоскостей α и γ. Что и требовалось доказать. 6  5. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, и прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются. Пусть α и β пересекаются по прямой а.