Читать онлайн «Теория меры и интеграла. Вып.1. Мера. Измеримые функции»

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. А. ЖДАНОВА Б. М. МАКАРОВ, Л. В. ФЛОРИНСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА Выпуск I МЕРА. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ Под общей редакцией Б. М. Макарова ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1974 Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Ленинградского университета УДК. 519. 53 Макаров Б. М. , Флоринская Л. В. Теория меры и интеграла· Вып. 1. Мера· Измеримые функции. Л·, Изд-во Ленингр. ун-та, 1974. Эта книга является первым выпуском пособия по теории меры и интеграла, в котором содержится материал, входящий в программу Π курса заочного отделения математико-механического факультета ЛГУ. Выпуск 1 состоит из двух глав. В главе I после изложения предварительных сведений вводится понятие меры и подробно изучаются ее свойства/Последние параграфы главы I посвящены изучению важнейших конкретных мер - меры Лебега и мер Лебега-Стилтьеса. В главе Π содержатся основные сведения об измеримых фукнциях. В конце каждое параграфа приводится значительное число упражнениеобщее число их в выпуске Ϊ достигает 150). Излагаемый материал является основой для последующего построения в курсе математического анализа современной теории интеграла (которой будет посвящен выпуск 2), а также используется в других дисциплинах (теория вероятностей, математическая физика и др. ). Книга может быть использована студентами математических и физических факультетов университетов, а также инженерами и студентами технических вузов,^изучающими математику в расширенном объеме. Ил. - 13. 0223-015 © Издательство Ленинград- М 076(02)—74 ί2^4 ского университета, Ϊ974 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Это пособие предназначено для студентов-заочников II курса ма- тематико-механического факультета Ленинградского университета* Необходимость в нем возникла в связи с тем, что, хотя теории меры посвящено значительное число широко признанных руководств,студенты-заочники'часто испытывают затруднения при их использований. Причинами этого служат или большая общность изложения,делающая книги такого уровня малодоступными для человека, который впервые знакомится с соответствующими понятиями, или очень большие расхождения меаду планом книги и программой, принятой в настоящее время в Ленинградском университете· Авторы данного пособия видели свою задачу в том, чтобы, не вдаваясь по возможности в технически* сложные вопросы, изложить основополагающие понятия теории меры,на базе которых можно было Зы развить достаточно общую теорию интегрирования (теории интегрирования будет посвящен следующий выпуск пособия). Такой подход нашел отражение как в отборе материала,так и в способе его изложения. В одном случае (§ 4 гл. 1) мы сочли возможным лишь сформулировать, не приводя доказательства, основополагающую (и, разумеется, неоднократно используемую в дальнейшем) теорему о продолжении меры. Это позволило нам сразу перейти к изучению важнейших конкретных мер: меры Лебега и мер Лебега-Стилтье- са, избежав весьма громоздкого и для студента, впервые сталкивающегося с теорией меры, достаточно трудного доказательства упомянутой теоремы.