Читать онлайн «Математика, ее содержание, методы и значение. Том 3»

КАДЕМИЯ НАУК С С С МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА МАТЕМАТИКА, ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ, МЕТОДЫ И ЗНАЧЕНИЕ ТОМ ТРЕТИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР МОСКВА 1956 РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: член-корр. АН СССР А. Д. АЛЕКСАНДРОВ академик А. Н. КОЛМОГОРОВ, академик М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ Глава XV ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. ВВЕДЕНИЕ К концу XVIII — началу XIX в. дифференциальное и интеграль- интегральное исчислепие было в основном разработано. До этого времени (фак- (фактически, весь XVIII век) ученые были заняты построением его отдель- отдельных разделов, открывали все новые и новые факты, развивали все новые и новые области приложений дифференциального и интеграль- интегрального исчисления к различным вопросам механики, астрономии, техники. Теперь появилась возможность обозреть полученные результаты, заняться их систематизацией, вникнуть в смысл основных понятий анализа. И вот выясняется, что с основами анализа дело обстоит не совсем благополучно. Еще в XVIII в. у крупнейших математиков того времени не было единого мнения насчет того, что такое функция. Это приводило к дол- долгим спорам о том, правильно или неправильно то или иное решение задачи, правилен или неправилен тот или иной конкретный математи- математический результат. Постепенно «выяснилось, что и другие основные понятия анализа нуждаются в уточнении. Недостаточно четкое пони- понимание того, что такое непрерывность и каковы свойства непрерывных функций, привело к появлению ряда ошибочных утверждений, напри- например, что непрерывная функция всегда дифференцируема. Математика стала оперировать со столь сложными функциями, что стало уже невозможно ссылаться на очевидность и догадку. Появилась настоя- настоятельная необходимость навести порядок в основных понятиях анализа. Первая серьезная попытка в этом направлении была предпринята Лагранжем, а затем на тот же путь встал Коши. Коши уточнил и ввел во всеобщее употребление сохранившиеся до наших дней определения предела, непрерывности, интеграла. Примерно в то же время чешский математик Больцано провел строгое изучение основных свойств непре- непрерывных функций. Рассмотрим эти свойства непрерывных функций более подробно. Пусть непрерывная функция /(я) задана на некотором отрезке [а, Ь], т. е. для всех чисел, удовлетворяющих неравенствам а^х^. Ь. Ранее считалось очевидным, что если на концах отрезка функция принимает 4 Глава XV. Теория функций действительного переменного значения разных знаков, то в некоторой промежуточной точке она обращается в нуль. Теперь этот факт получил строгое обоснование. Точно так же было строго доказано, что непрерывная функция, за- заданная на отрезке, принимает в некоторых точках свое наибольшее и наименьшее значение. Исследование этих свойств непрерывных функций заставило глубже вникнуть в природу действительных чисел. В результате появилась теория действительных чисел, были четко сформулированы основные свойства числовой прямой. Дальнейшее развитие математического анализа привело к необхо- необходимости рассматривать все более и более «плохие», в частности раз- разрывные, функции.