Читать онлайн «Интеграл Коши»

И. И. Приваловъ, ПРОФЕССОРЪ САРАТОВСКАГО УНИВЕРСИТЕТА. ИНТЕГРАЛЪ CAUCHF. &<^*$Шг^->ио) *ШШ& САРАТОВЪ Совграфгя 13 отдЬленхе. 1919 Отд. отт. изъ Извйстш Саратовскаго Университета Фнзико-Мате- матическаго факультета за 1918 г. В В Е Д Ε Η Ι Ε. Поняп'е мтъры множествъ, поставленное впервые СаШог'омб рзло громадное зиачеше въ развитии математической науки. Опре- Ьлеш'я Cantor'a были подвергнуты обработка Jordan7 ΟΜδ1), но только ЬгеР) и Lebesgue*) решили проблемму меры множествъ съ исчер- ивающей полнотой и общностью, вполне достаточной для прило- рн!й. Однимъ изъ самыхъ важпыхъ приложенш теорш меры мно- Ьствъ является обобщение понятая интеграла, данное Lebesgue'oMs1). Пошгпе меры множествъ и широкое определеше интеграла wesguea лежать въ основе техъ методовъ, которыми мы пользуемся |> этомъ сочппенш. Настоянная работа объедипяетъ собою рядъ изсд-Ьдовашй, паклящихся въ той или иной связи съ классической задачей изобрази аналитической функщи интеграломъ Cauchy. Такъ какъ въ юрмулу Cauchy входятъ зпачешя функщи па контуре интеграции, ?торый вообще является особой лишен, то для полнаго р±шешя (дачи естественно приходится прежде всего разсмотр-Ьть поведете аалитической функщи вблизи особой лиши и определение ея знаниями па этой линш. Посвящая нашу работу изел'кловагпю вопросовъ, связанныхъ h задачей изображена аналитической функши формулой Cauchy, Ы естественно ограничиваемся разсмотр'Ьшемъ спрямляемыхъ кри- э1хъ. Предельный значен]я аналитической функщи въ точкахь ножества м^ры нуль, лежащемъ на особой л-пни, входя подъ ?акъ интеграла, не оказываютъ никакого вл1яшя па величину фор· ^лы Cauchy. Последнее обстоятельство является причиной того, что при зеледоваши поведения аналитической функщи вблизи особой ли- in мы не разематриваемъ ея зпачепш на множествахъ гочекъ меры уль, а занимаемся главнымъ образомъ изыскашемъ законовъ, меющихъ . место почти всюду на границе. области. Другими слоями, мы поставили себе задачу изучить аналитическую функщю 5лизи особой лиши съ точки зр-Ьшя ея интегралъныхб свойствъ. . агсъ известно, лзеледоваше общей задачи поведешя аналитиче- кой функщи около особой лиши съ помощью конформнаго пре- (Зразовашя можетъ быть приведено къ изучешю более частнаго 1) Jordan, Cours d"analysc. 2) 'BorcJ, Legons sur la theorie des fonctions, Paris 1898. 3) Lcbesgue, Lecons sur Pintcgration Paris, 1904: Annali di Mat. 1902. rM Lebcsgue, Annal. di Mat. 1902. 9 вопроса разсмотренш функщи вблизи окружности. Въ связи съ этимъ представляется необходимыми изсл'Ьдовать задачу о соответствии самыхъ общихъ спрямляемыхъ границъ при конформномъ отображен i и. Въ силу работы Carat heodory*), при конформиомъ преобразованы области, ограниченной любой кривой Jordan'а, па кругъ, точки окружности взаимно-однозначно и непрерывно соответствуют ь точкамъ кривой Jordan а. Какъ показалъ Н, И, Лузит, эта замечательная теорема можетъ быть существенно дополнена, если раз- сматривать области, ограниченныя спрямляемыми кривыми. Въ этомъ случае, какъ доказывеется въ гл.