Читать онлайн «Алгебра и теория чисел»

г АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ I Московский государственный заочный педагогический институт АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Учебное пособие для студентов- заочников II курса физико-математических факультетов педагогических институтов Под редакцией Н. Я. ВИЛЕНКИНА Издание второе Рекомендовано Главным управлением высших и средних педагогических учебных заведений Министерства просвещения РСФСР МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1984 ББК' 22—13 А45 Авторы: Н. А. КАЗАЧЕК, |Г. Н. ПЕРЛАТОВ|, Н, Я* ВИЛЕНКИН, А. И, БОРОДИН Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Полянский (Куйбышевский пединститут) кандидат физико-математических наук, доцент Т. М. Федулова (Куйбышевский пединститут) Редактор МГЗПИ О. А. Павлович Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для студентов- А45 заочников II курса физ. -мат. фак. пед. ин-тов (Н. А. Казачек, Г. Н. Перлатов, Н. Я. Виленкин, А. И. Бородин; Под ред. Н. Я. Виленкина. —2-е изд. —М. : Просвещение, 1984. 192 с. Наряду с теоретическим материалом пособие содержит большое количество подробно разобранных примеров, а также упражнения для самостоятельного решения. 4309020400—525 у^^ч ББК 22—13 А 103(03)-84 3аКаЗН°е /™«Л 617. 1 © Московский государственный заочный педагогический институт (МГЗПИ), 1984 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемое вниманию читателя учебное пособие предназначено для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов. Оно написано в полном соответствии с новой программой курса «Алгебра и теория чисел» и является третьим в серии учебных пособий, охватывая материал, изучаемый в IV семестре. Книга состоит из трех глав, причем каждая глава разбита на параграфы, а параграфы — на пункты. Нумерация определений, лемм и теорем единая в пределах одного параграфа, а нумерация формул единая внутри одного пункта. При ссылке на теорему указываются соответственно ее номер, номера параграфа и главы, причем при ссылке на теорему того же параграфа номера главы и параграфа опускаются, а при ссылке на теорему той же главы указываются лишь номера теоремы и параграфа. Аналогично производятся ссылки на формулы (например, ссылка на формулу (4) означает, что речь идет о формуле (4) данного пункта). В первой главе изложена теория делимости в кольце целых чисел, т. е. дано теоретическое обоснование вопросов, изучаемых в V классе средней школы (и частично в VII классе). Здесь рассмотрены свойства отношения делимости, алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя целых чисел, теория простых чисел, а также системы счисления, числовые функции и цепные дроби. Вторая глава посвящена теории колец. В ней излагается теория делимости в коммутативных кольцах, в частности в кольцах главных идеалов, обобщающая изученную в первой главе теорию делимости в кольце целых чисел, рассматривается теория идеалов в кольцах, гомоморфизмов и фактор-колец, дающая алгебраическое обоснование изучаемой далее теории сравнений. Приводимое в этой главе доказательство теоремы о существовании и единственности разложения на простые множители в кольцах главных идеалов позволяет не рассматривать в дальнейшем этот вопрос для колец многочленов от одного переменного.