Читать онлайн «Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия»

В. Н. ЛИТВИНЕНКО А. ПМОРДКОВИЧ ПРАКТИКУМ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ АЛГЕБРА. ТРИГОНОМЕТРИЯ Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей педагогических институтов и учителей Допущено Государственным комитетом СССР по народному образованию 2-е издание, переработанное и дополненное МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1991 ББК 22. 1 Л64 Рецензенты: кафедра методики преподавания математики Могилевского педагогического института им. А. А. Кулешова (зав. кафедрой доцент Л. А. Ла- тотин); доктор физико-математических наук, профессор А. С. Солодовников Литвиненко В. Н. , Мордкович А. Г. Л64 Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ. -мат. спец. пед. ин-тов. —2-е изд. , перераб. и доп. — М. : Просвещение, 1991. — 352 с: ил. — ISBN 5-09-003393-5. Цель настоящего пособия — оказать студентам конкретную помощь в развитии умения решать математические задачи школьного курса. Наличие теоретического материала и подробно разобранных примеров даст возможность использовать пособие изучающим этот курс самостоятельно. _ 4309000000—708 „ 01 , -. . , tt IQQ14 rr* оо i л —1ао/ао\—m— 65—91 (заказ по КБ—11 —1991) ББК 22. 1 103(03)—91 ISBN 5-09-003393-5 ® Литвиненко В. Н. , Мордкович А. Г. , 1991 Часть I. АЛ ГЕБРА Глава I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 1. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный многочлен представить в виде произведения двух или более многочленов или в виде произведения многочлена на одночлен, содержащий не менее одной переменной. Однако не каждый многочлен допускает разложение на множители над полем действительных чисел. Например, многочлены х + 3, х? + 6х+10 разложить на множители нельзя. Такие многочлены называются неприводимыми. Разложение многочлена на множители считается законченным, если все полученные множители неприводимы. При разложении многочленов на множители применяются различные приемы: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения и др. Рассмотрим несколько примеров применения этих приемов. Пример 1. Разложим на множители многочлены: 1) f(a;b) = a2-2a3b-2ab3+b2; 2) /(а) = а4-5а3-8а + 40. Решение. 1) Сгруппируем, например, первый член со вторым, а третий — с четвертым и вынесем за скобки общие множители. Получим / (а; Ь) = а2 (1 -2ab)+ Ь2 (1 -2ab) = {\ —2ab) (а2 + Ь2). 2) Получаем / (а) = а3 (а — 5) — 8 (а — 5) = (а — 5) (а3 — 8) = = (а-5)(а-2)(а2 + 2а + 4). Пример 2. Разложим на множители /(a; b) = 4a2-l2ab + 5b2. Решение. 1-й способ. Дополним выражение 4а2— \2ab до полного квадрата. Получим 4a2—l2ab + 9b2. Тогда / (а; Ь) = = (4a2-l2ab + 9b2)-9b2 + 5b2 = (2a-3b)2-(2b)2 = (2a-3b-2b)X X (2а - 36 + 26) = (2а - 56) (2а - 6). 2-й способ. Представим второй член заданного трехчлена следующим образом: — 12а6 = — 2а6 — ЮаЬ. Тогда / (а; 6) = (4а2 — 2а6) + + (-10а6 + 562) = 2а(2а-6)-56(2а-6) = (2а-56)(2а-6). Пример 3. Разложим на множители /(а) = а3-7а2 + 7а+15. Решение. 1-й способ. Представим второй и третий члены за- з данного многочлена следующим образом: — 7а2 = —За2 — 4а2; 7а—12а —5а.