Читать онлайн «Методы А.М. Ляпунова и их применение»

■ ьст 1 Г КОГ Η ВЕР Ε f5 ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИН'А ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А. А. ЖДАНОВА В. И. ЗУБОВ МЕТОДЫ А. М. ЛЯПУНОВА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1957 Печатается по постановлению редакционного совета Ленинградского Университета В настоящей работе автор дает распространение второго метода А. М. Ляпунова, позволяющее исчерпывающим образом развить теорию устойчивости инвариантных множеств динамических систем и систем более общей природы в метрическом пространстве. В работе предлагается также метод построения семейств решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений; полученные результаты применяются к решению вопроса об устойчивости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными. Работа рассчитана на студентов старших курсов университетов, аспирантов и научных работников, а также может быть полезна для инженеров, желающих глубже овладеть теорией устойчивости. Отв. редактор В, П, Хавин Посвящается 100-летию со дня рождения академика Л, М. Ляпунова Α. Μ. ЛЯПУНОВ 1857-1918 ПРЕДИСЛОВИЕ Монография В. И. Зубова по своему содержанию непосредственно примыкает к знаменитой работе А. М. Ляпунова „Общая задача об устойчивости движения". Начнем с краткого упоминания основных результатов этой работы. А. М. Ляпунов сводит задачу об устойчивости к исследованию устойчивости нулевого решения хх = х2 = ... = хп = 0 системы обыкновенных дифференциальных уравнений -|τ=Λ(«*ΐι--·> *т 0> (5=1,... , п), (1) где правые части — степенные ряды переменных xi9. . , хп без свободного члена, сходящиеся в окрестности хг = х2 = ... = Если правые части, т, е. коэффициенты упомянутых рядов не содержат t, то А. М. Ляпунов говорил об установившемся движении (автономная система). При общем исследовании устойчивости нулевого решения (1) он применил два созданных им метода: разложение решений системы (1) в ряды специального вида и использование функций V{xu... , хп, t)> которые вместе со своими производными по ί, вычисленными в силу (1) обладают некоторыми свойствами, как функции (jclt... , хю t). Такие функции, если они построены, дают достаточные условия устойчивости или неустойчивости. При построении такого рода функций А. М. Ляпунов использовал общую доказанную им теорему о решении систем уравнений с частными производными, не удовлетворяющих условиям известной теоремы С. В. Ковалевской. Функции V, о которых мы говорили выше, будем называть функциями Ляпунова, а упомянутую только что теорему будем называть вспомогательной теоремой. 5 В работе А. М. Ляпунова установлены условия, при которых одни линейные члены уравнений (1) решают вопрос об устойчивости и рассмотрен ряд важных частных случаев, когда этот вопрос может быть решен только рассмотрением членов высших порядков (так называемые сомнительные случаи). В одном из сомнительных случаев автономной системы (1) дан прием построения периодических решений. При дальнейших исследованиях отвлекались от систем дифференциальных уравнений и рассматривали точки Ял-мерного пространства, двигающиеся при изменении t по определенным законам·— так называемые динамические системы.