Читать онлайн «Конечномерный линейный анализ в задачах»

И. М. ГЛАЗМАН Ю. И. ЛЮБИЧ 'Конечномерный линейный анализ И. М. ГЛАЗМАН, Ю. И. ЛЮБИЧ КОНЕЧНОМЕРНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 11N9 517. 2 Г-52 УДК 517. 5 Книга предназначается для активного изучения расширенного курса линейной алгебры и основ функционального анализа. Многие теории н построения, представленные в книге, являются конечномер- конечномерными моделями соответствующих оригинальных теорий и построений из функционального анализа. При этом, сохраняя свое идейное содержание, они становятся существенно более доступными. В це- целом книгу можно рассматривать как изложение линейной алгебры с точки зрения функционального анализа. Но вместе с тем в ней встречаются также некоторые существенно конечномерные теории. Весь материал книги изложен в форме задач на доказательство. Вначале рассматриваются геометрия комплексного линейного пространства и спектральная теория линейных операторов в этом пространстве. Затем изучается унитарное пространство, в котором строится спектральная теория самосопряженных и унитарных опе- операторов. Далее вводится понятие нормы, рассматриваются геометрия нормированных пространств и некоторые свойства операторов в этих пространствах. После некоторого отступления в область полилиней- полилинейной и внешней алгебры вводится вещественное линейное пространст- пространство н рассматриваются вопросы, связанные с комплексификацией и декомплексификациеи, а также элементы дифференциального исчис- исчисления для отображений. На основе излагаемой далее теории выпук- выпуклых множеств изучаются вопросы расположения собственных значе- значений н сингулярных чисел линейных операторов После этого в веще- вещественном линейном пространстве вводится отношение порядка и в упорядоченном пространстве строится теория линейных иеравенсю, а также теория линейной и выпуклой оптимизации. Далее, уже в комплексном пространстве, систематически излагается теория расши- расширений операторов, и в заключение рассматриваются некоторые спе- специальные классы операторов. 8-2-3 169-68 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . 7 Гл. з в а I. Комплексное линейное пространство П § 1. Линейная зависимость и независимость. Ранг системы векторов 12 § 2. Базнсы и размерность пространства. Изоморфные про- пространства 19 § 3. Подпространства 23 § 4. Фактор-пространства. Гомоморфизмы. Альтернатива Фредгольма . 31 § 5. Действия над гомоморфизмами 38 § 6. Линейные функционалы. Ортогональность. Биортого- нальиые системы 49 § 7. Сопряженный гомоморфизм и теория Фредгольма . . 54 § 8. Билинейные функционалы и тензорные произведения 58 § 9. Комплексное сопряжение. Эрмитово-лииейиые функцио- функционалы. Эрмитовы гомоморфизмы и эрмнтово-билиией- иые функционалы , 64 § 10. Общая теория ортогональности 68 §11. Топология . . 70 § 12. Теория пределов. Ряды. Элементы иифииитезимально- го анализа 75 Глава II. Линейные операторы в комплексном линейном пространстве ... 87 § 1. Алгебра линейных операторов 88 § , 2.