Читать онлайн «Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы»

П. Е. ТОВСТИК УСТОЙЧИВОСТЬ тонких ОБОЛОЧЕК АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Принята трехзначная нумерация формул: указываются номер главы, номер параграфа и номер формулы. При ссылках на формулы из той же главы номер главы опускается, а при ссылках на формулы из того же параграфа^ опускаютсй номера главы и параграфа. При думерации рисунков (таблиц, примеров, заме- чаний) принята двухзначная нумерация: указывается номер главы и номер рисунка (таблицы, замечания). Для записи порядка функции. . ф-(Л^) по сравнению с функцией 0(Л) при И. —»0 (или \1, е—»0) используются обозначения О, о, ~. Запись (р=0{ф) означает существование не зависящей от h постоянной /1>0 такой, что |ф|-^|0|. Запись ф=о(0) означает, что (p/\Jj—*0 при h —»0. Символом ~ соединяются величины одного асимптотического порядка, т. е. ip ~ 0 означает, что одновременно (р = О (0) и Ф=0(ч>). Основные буквенные обозначения: а, /3 (а. , а. ) — ортогональные криволинейные координаты на срединной поверхности оболочки, А, В (А, АЛ — коэффициенты Ламе срединной Поверхности* е е„, п — орты системы координат, связанной с точкой на срединной поверхности до деформации, е* е* п* — то же после деформации, е. . — мембранные деформации срединной поверхности, е. , О) — мембранные деформации в линейном приближении. е, е0 — малые параметры, с = hm /[12(1 - vh], e > 0, е_ = е3/4, ft, ft0 — толщина оболочки и ее характерное значение (для оболочек переменной толщины), h — безразмерная толщина оболочки, основной малый параметр (А^ = h/R > 0), К, D - жесткости оболочки, К = Eh/{\- v2), D = £А3/[12(1- i>2)], k. , k„ — главные кривизны срединной поверхности, А — параметр нагружения (А > 0), ц — малый параметр, ц4 = aV[12(1 - vfy, ц>0, v, vQ — коэффициент Пуассона , и его характерное значение (если v переменный), М. , //„ Н — проекции внутренних моментов на орты е*, п*. , Р. , Р, М. , М — внешние силы и моменты, действующие на краю оболочки вращения (см. рис. 1. 3), П — потенциальная энергия деформации оболочки, Яу Я<у <7(<7i> <7о' Ч*} ~ проекции вектора интенсивности внешней нагрузки на орты е. , е„, п (е* е* п*), R. , R~ — главные радиусы кривизны срединной поверхности, R — характерный линейный размер срединной поверхности, Qv Q„ — перерезывающие усилия, Т. , S. , S — проекции внутренних усилий на орты е* е* /. — безмоментные безразмерные начальные усилия, / — показатель изменяемости напряженного состояния (см. (1. 3. 3)), s — длина дуги образующей (для оболочек вращения и оболочек нулевой кривизны), и„ w (и, v, w) — проекции перемещения, <*>. , If. — углы поворота ортов е. , п в линейном приближении, к„ т — изгибные деформации срединной поверхности в линейном приближении. ВВЕДЕНИЕ Ниже рассмотрен достаточно узкий класс задач устойчивости тонких гладких упругих оболочек, находящихся под действием консервативной поверхностной и краевой нагрузки. Использование статического критерия устойчивости приводит к линейным краевым задачам на собственные значения, для решения которых эффективно применяются асимптотические методы. В результате построены приближенные асимптотические формулы для ожидаемых форм потери устойчивости и соответствующих им критических нагрузок. Рассматриваются оболочки с различной формой срединной поверхности, находящиеся в различных условиях нагружения и закрепления. При этом в стороне остаются задачи устойчивости оболочек, требующие для своего решения применения динамического критерия устойчивости или решения существенно нелинейных краевых задач. Это, в частности, задачи устойчивости при динамическом нагружении, задачи" устойчивости оболочек в потоке газа, задачи параметрической устойчивости, нелинейные задачи устойчивости пологих оболочек.