Читать онлайн «Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии»

УДК 513. 73 ББК 22. 151 М71 Мищенко А. С, Фоменко А. Т. Краткий курс дифференци- дифференциальной геометрии и топологии. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 304 с. — ISBN 5-9221-0442-Х. Книга представляет собой краткую версию курса дифференциальной геометрии, читаемого в течение двух семестров на математических факуль- факультетах университетов. Она содержит основной программный материал по общей топологии, нелинейным системам координат, теории гладких многооб- многообразий, теории кривых и поверхностей, группам преобразований, тензорному анализу и римановой геометрии, теории интегрирования и гомологиям, фун- фундаментальным группам поверхностей, вариационным принципам в римано- римановой геометрии. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал. Для математиков и физиков, студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников. © ФИЗМАТЛИТ, 2004 ISBN 5-9221-0442-Х © А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию 7 1. 1. Криволинейные системы координат. Простейшие приме- примеры 7 1. 1. 1. Мотивировка 7 1. 1. 2. Декартовы и криволинейные координаты 9 1. 1. 3. Простейшие примеры криволинейных систем коорди- координат 14 1. 2. Длина кривой в криволинейных координатах 17 1. 2. 1. Длина кривой в евклидовых координатах 17 1. 2. 2. Длина кривой в криволинейных координатах 19 1. 2. 3. Понятие римановой метрики в области евклидова про- пространства 23 1. 2. 4. Индефинитные метрики 25 1. 3. Геометрия на сфере, плоскости 28 1. 4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского 34 Глава 2. Общая топология 48 2. 1. Определения и простейшие свойства метрических и топо- топологических пространств 48 2. 1. 1. Метрические пространства 48 2. 1. 2. Топологические пространства 50 2. 1. 3. Непрерывные отображения 52 2. 1. 4. Фактортопология 54 2. 2. Связность. Аксиомы отделимости 56 2. 2. 1. Связность 56 2. 2. 2. Аксиомы отделимости 58 2. 3. Компактные пространства 60 2. 3. 1. Компактные пространства 60 2. 3. 2. Свойства компактных пространств 61 2. 3. 3. Метрические компактные пространства 62 2. 3. 4. Операции над компактными пространствами 62 2. 4. Функциональная отделимость. Разбиение единицы 63 2. 4. 1. Функциональная отделимость 64 2. 4. 2. Разбиение единицы 66 Оглавление Глава 3. Гладкие многообразия (общая теория) 68 3. 1. Понятие многообразия 70 3. 1. 1. Основные определения 70 3. 1. 2. Функции замены координат. Определение гладкого многообразия 73 3. 1. 3. Гладкие отображения. Диффеоморфизм 77 3. 2. Задание многообразий уравнениями 80 3. 3. Касательные векторы. Касательное пространство 85 3. 3. 1. Простейшие примеры 85 3. 3. 2. Общее определение касательного вектора 88 3. 3. 3. Касательное пространство Тро(М) 89 3. 3. 4. Производная функции по направлению 90 3. 3. 5. Касательное расслоение 93 3. 4. Подмногообразия 95 3. 4. 1. Дифференциал гладкого отображения 95 3. 4. 2. Локальные свойства отображений и дифференциал ... 98 3. 4. 3. Вложение многообразий в евклидово пространство. . . 100 3. 4. 4.