Читать онлайн «Задачи по функциональному анализу. Часть 1»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет ЗАДАЧИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Часть I П. А. Бородин, A. M. Савчук, И. А. Шейпак Москва 2009 год УДК 517. 98 Рецензент доктор физико-математических наук, профессор А. Я. Хелемский ЗАДАЧИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. Часть I / П. А. Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак. - М. : Изд-во ЦПИ, 2009. - 176 с. Задачник содержит более 1200 задач по всем основным разделам функционального анализа, входящим в учебную программу механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Все задачи, в которых требуется что- то найти, снабжены ответами, а некоторые из остальных задач — указаниями и комментариями. Для студентов и аспирантов математических специальностей университетов. УДК 517. 98 Работа поддержана грантами РФФИ Ж)7-01-00283а, Ж)8-01-00648а, ЖЮ-01-90408 © П. А. Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак, 2009 г. Оглавление 1. Метрические пространства 16 1. 1. Основные понятия и свойства 16 1. 2. Последовательности в метрических пространствах. Полнота 19 1. 3. Сепарабельность метрических пространств. 23 1. 4. Отображения метрических пространств. . . 25 1. 5. Теорема о неподвижной точке 28 2. Нормированные пространства 31 2. 1. Основные понятия и свойства. Примеры нормированных пространств 31 2. 2. Множества и последовательности в нормированных пространствах. Подпространства. 38 2. 3. Банаховы пространства 42 2. 4. Прямые суммы подпространств 49 2. 5. Сепарабельность нормированных пространств 53 3. Гильбертовы пространства 56 3. 1. Основные понятия и свойства. Примеры евклидовых и гильбертовых пространств. . 56 3. 2. Множества в гильбертовых пространствах. 61 3. 3. Системы векторов в гильбертовых пространствах 68 4. Компактные множества 75 4. 1. Свойства компактных множеств 75 4. 2. Компактные множества в конкретных нормированных пространствах 83 5. Линейные непрерывные функционалы 90 5. 1. Основные свойства. Вычисление норм. ... 90 5. 2. Теорема Хана-Банаха 95 5. 3. Сопряжённые пространства 99 5. 4. Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность 106 6. Линейные операторы 110 6. 1. Определения и основные примеры операторов 110 6. 2. Различные свойства операторов 119 3 6. 3. Пространство операторов 125 7. Теорема Банаха-Штейнгауза. Слабая сходимость векторов, функционалов и операторов 128 7. 1. Теорема Банаха-Штейнгауза 128 7. 2. Слабая сходимость (основные свойства). Критерии слабой сходимости 130 7. 3. *-слабая сходимость в сопряжённом пространстве 136 7. 4. Различные виды сходимости в пространстве операторов 142 8. Сопряжённые операторы 150 8. 1. Сопряжённые операторы в банаховом пространстве 150 8. 2. Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Унитарные и нормальные операторы 153 9. Обратный оператор 164 9. 1. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры 164 9. 2. Свойства обратимых операторов 170 10. Базисы 179 10. 1. Полные и минимальные системы векторов. 179 10. 2. Базисы Шаудера 183 10. 3. Базисы в гильбертовых пространствах. . . 188 11. Компактные операторы и теория Фредгольма. . . 191 11. 1.