Читать онлайн «Метод канонического оператора Маслова. Комплексная теория»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов МЕТОД КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА МАСЛОВА Комплексная теория Москва —1974 г. МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов МЕТОД КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА МАСЛОВА Комплексная теория Рекомендовано Редсоветом Института в качестве учебного пособия Москва —1974 ιγ Предисловие Книга посвящена разработке комплексного варианта метода канонического оператора Маслова построения асимптотических решений (псевдо) дифференциальных уравнений с комплексными характеристиками. Не вдаваясь в сущность метода Маслова (комплексной реализации которого и посвящена настоящая работа), отметим его универсальность. Действительно, в соединении с А-формализмом [14], метод канонического оператора работает в таких казалось бы далеких друг от друга областях, как квазиклассическая асимптотика квантовой механики и проблема устойчивости разностных схем, задача о распространении «в большом» разрыва решений гиперболических уравнений и коротковолновая асимптотика в задачах дифракции, распространение волн в ионосфере и проблема существования и единственности в общей теории псевдодифференциальных уравнений. Более того, метод канонического оператора вскрыл топологическую природу известного эффекта о скачке фазы якобиана при переходе через фокальную точку. В работе [1] был вычислен характеристический класс, входящий в условия квантования и реализующий так называемый индекс Маслова на лагранжевом многообразии. Книга [14] вызвала большой резонанс как в Советском Союзе, так и за рубежом. Мы здесь хотим отметить, в первую очередь, работы [1], [2], 131141 [6], [7], [10], [25]. Остановимся теперь на комплексной теории канонического оператора. В 1970 г. В. Маслов [16], [26] анонсировал некоторый вариант комплексной теории канонического оператора, названного им теорией канонического оператора на лагранжевом многообразии с комплексным ростком. В этой работе основным объектом является вещественное лагранжево многообразие и комплексная векторнозначная функция на нем — комплексный росток. В дальнейшем идеи В. Маслова в комплексной теории канонического оператора получили свое развитие в работах [11], [12], ИЗ], [17], [19], [20], [21]. В книге предложен принципиально новый подход к построению комплексной теории канонического оператора, основанный на изучении семейства неособых вещественных подмногообразий правильных s-аналитических многообразий Лагранжа. С методической точки зрения, однако, удобнее начать с изложения теории канонического оператора на s-аналитическом 3 многообразии Лагранжа с оператором канонического сужения. Этот способ подкупает своей идейной простотой и прозрачностью изложения, хотя и не лишен ряда недостатков. Далее, мы развиваем теорию канонического оператора в общей ситуации, частным случаем которой является теория канонического оператора на s-аналитическом многообразии комплексной размерности η с одной стороны, и теория канонического оператора на /г-мерном- вещественном- многообразии в /г-мер- ном комплексном фазовом пространстве, с другой.