Читать онлайн «Геометрия, часть 2»

А. Л. Вернер, Б. Ε. Кантор, С. А. Франгулов ГЕОМЕТРИЯ Часть II Допущено Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для физико-математических факультетов педагогических институтов Санкт-Петербург «Специальная Литература» 1997 УДК 378. 5 51 Г 35 А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор, С. А. Франгулов Г 35 Геометрия. Ч. II. Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов. — СПб. : «Специальная Литература», 1997. — 320 с. ISBN 5-87685-040-3 ISBN 5-87685-042-Х (Ч. И) Настоящая книга является второй частью курса геометрии для физико-математических специальностей в педагогических институтах и университетах. Она служит расширению геометрических представлений, знакомит с различными направлениями и методами геометрии. Книга издана при содействии фонда поддержки науки и образования «Университетская книга* © Авторы, 1997 ISBN 5-87685-040-3 © «Специальная Литература», 1997 ISBN 5-87685-042-Х (Ч. II) © Волошкин О. П. , оформление обложки, 1997 Предисловие Первая часть этого курса (главы I—VI) содержала аналитическую геометрию, элементарную геометрию и основания геометрии — геометрический материал наиболее необходимый каждому школьному учителю и близкий к школьному курсу геометрии. Во второй части мы знакомим учителя с такими разделами геометрии, которые играют важную роль в современной геометрии — элементами многомерной, проективной, дифференциальной геометрии и топологии (главы VII—X). Эти разделы имеют разнообразные связи как с другими разделами математики (алгеброй, математическим анализом, теорией дифференциальных уравнений), так и с наиболее трудными темами школьного курса геометрии. Нумерация глав и параграфов в этой книге продолжает их нумерацию в первой части. Глава VII. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В механике, физике, различных технических науках, биологии широко применяются так называемые многомерные пространства. Например, в классической механике состояние точки описывается шестью независимыми параметрами: тремя координатами, определяющими ее положение в реальном пространстве, и тремя составляющими вектора скорости. Эти шесть параметров определяют шестимерное пространство состояний точки. Если механическая система состоит из N точек, то ее во многих случаях удобно рассматривать как точку в пространстве размерности 6N. В курсе алгебры изучались линейные и евклидовы векторные пространства произвольной размерности. Элементами этих пространств являются векторы. В настоящей главе будут изложены начала теории многомерных точечных пространств. Геометрический язык существенно облегчает как постановку, так и решение многих задач. Понятие многомерного точечного пространства можно ввести на основе аксиом, близких к системе аксиом школьного курса геометрии. Однако такая аксиоматика слишком громоздка, а доказательство теорем на ее основе сложно. Удобно строить теорию многомерных точечных пространств, используя понятия и методы линейной алгебры. Излагаемая ниже система аксиом предложена в 1917 г.