Читать онлайн «Сборник задач по теории чисел»

О. Н. Василенко, А. И. Галочкин СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 1995 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОШЮСОВА О. Н. Василенко, А. И. Галочхин СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Издательство Московского университета 1995 ББК 22,13 В 19 УДК 511 Рецензенты: канд. фаз. -мат. нау* Е. М. Матвеев, кавд. физ. -мат. наук В. Г. Чирский Печатается по постановлению Редакционно-издательокого совета Московского университета Василенко Ο. Ή. , Галочкин А. И. В 19 Сборник задач по теории чисел. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1995. - 128 с. ISBN 5-2ΙΙ-0326Γ - 6 Представлены задачи по всем основным разделам теории чисел. В каждом параграфе имеются формулировки необходимых определений и теорем, приводятся теоретические упражнения и чиоленные^ примеры. Типовые методы решения изложены в виде отдельных задач, снабженных подробными указаниями. К большинству задач даны ответы или указания к решению. Для отудентов математических специальностей университетов и пединститутов. 077(02) - 95 - заказное ББК 22. 13 ISOT 5 - 211 - 03261 - * (о) Московский государственный университет, 1995г. Оглавление Список обозначений 4 § I. Основная теорема арифметики. Простые и составные числа 6 § 2. Решение - уравнений в целых числах 16 § 3· Алгоритм Евклида и однозначность разложения на множители в некоторых кольцах . 21 § 4·. Мультипликативные функции 24 § 5. Сравнения и их свойства. Теорема Эйлера 28 § 6. Решение линейных уравнений и систем. Решение линейных сравнений 33 § 7. Диофантовы уравнения в кольце вычетов. Редукция и подъем решений 37 § 8· Квадратичные вычеты. Символы Лежандра и Якоби 43 § 9. Первообразные корни и индексы. Строение группы (Ζ/ηιΖΥ 49 § 10. Характеры и их свойства 53 § II. Преобразование Абеля. Суммы по простым числам 56 § 12. Ряды Дирихле 60 § 13. Алгоритмы решения уравнений и разложения многочленов на множители над конечными полями 63 § 14. Непрерывные дроби 67 § 15. Алгебраические числа 74 § 16. Принцип Дирихле 79 § 17. Диофантовы приближения и трансцендентные числа 81 § 18. Тригонометрические суммы 86 § 19. Равномерное распределение последовательности дробных долей 90 § 20. Некоторые теоретико-числовые алгоритмы 91 Ответы и указания 96 Литература 123 - 3 - Список обозначений IN - множество натуральных чисел; Z- - кольцо целых чисел; 1и - множество целых неотрицательных чисел; (Ц - поле рациональных чисел; 'К — поле действительных чисел; € - поле комплексных чисел; А - поле всех алгебраических (над (Q ) чисел; 2д- кольцо всех целых алгебраических чисел; Ν ~ ^и^и^ ·. · &0 - десятичная запись натурального числа N ; С (λ , ь ) - HUA (ft ) 6 ) - наибольший общий делитель целых чисел α £ ; - наименьшее общее кратное целых чисел α £ ; α Ι *> - α делит # , где α;β «- 2f ; α | £ - α не делит & ; * ! Λ - 6 делится на <х , α ^ Ζ ί ill τ к\ 4^l yb j| CL , если Ь - простое число, &6£ } f> \& у Ρ τ Λ- J (α> . = £ , если Ь - простое число и уо |\ CL ; 0L = ь (wod »t ) , если 01 о - α , где Л; »; ™ ^ ^ - кольцо вычетов по модулю Л1 ; - 4 - (Ж/т £) - мультипликативная группа обратимых по умножению элементов *Z//rtj? ; lKC^tp. . yX>wJ - кольцо многочленов от переменных *i ι ···) ** с коэффициентами в кольце 1|С ;