Читать онлайн «Теория чисел: учебник для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности ''Математика''»

ф s X го ffi о го ГО а ю о а> о х л а х о S и и Ф ■в- О Q. Ф Ф и Ю. В. Нестеренко ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Физико- математические науки ACADEMA ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Ю. В. НЕСТЕРЕНКО ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Рекомендовано Учебно-методическим объединением по классическому университетскому образованию в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Математика» academ'a Москва Издательский центр «Академия» 2008 УДК 511(075. 8) ББК22. 13я73 Н561 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор С. П. Струнков (Государственный университет — Высшая школа экономики); доктор физико-математических наук Е. М. Матвеев (заведующий кафедрой высшей математики Московского государственного технического университета им. А. Н. Косыгина) Нестеренко Ю. В. Н561 Теория чисел : учебник для студ. высш. учеб. заведений / Ю. В. Нестеренко. — М. : Издательский центр «Академия», 2008. - 272 с. ISBN 978-5-7695-4646-4 Основу учебника составляют результаты элементарной теории чисел, сформировавшейся в трудах классиков — Ферма, Эйлера, Гаусса и др. Обзорно освещены свойства простых чисел, теория диофантовых уравнений, алгоритмические аспекты теории чисел с применениями в криптографии (проверка больших простых чисел на простоту, разложение больших чисел на множители, дискретное логарифмирование) и с использованием ЭВМ. Для студентов высших учебных заведений. УДК 511(075. 8) ББК22. 13я73 Оригинал-макет данного издания является собственностью Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом без согласия правообладателя запрещается © Нестеренко Ю. В. , 2008 © Образовательно-издательский центр «Академия», 2008 ISBN 978-5-7695-4646-4 © Оформление. Издательский центр «Академия», 2008 Введение Предмет изучения теории чисел — числа и их свойства, т. е. числа выступают здесь не как средство или инструмент, а как объект исследования. Натуральный ряд 1,2,3,4, ... ,9,10,11, ... ,99,100,101, ... — множество натуральных чисел — является важнейшей областью исследований, необычайно содержательной, важной и интересной. Изучение натуральных чисел было начато в Древней Греции. Евклид и Эратосфен открыли свойства делимости чисел, доказали бесконечность множества простых чисел и нашли способы их построения. Задачи, связанные с решением неопределенных уравнений в целых числах, были предметом исследований Диофанта, а также ученых Древней Индии и Древнего Китая, стран Средней Азии. В XVII в. П. Ферма и в XVIII в. Л. Эйлер внесли огромный вклад в наши знания о натуральных числах. И если Ферма оставил лишь свои открытия, не сопроводив их доказательствами, то Эйлер, оказавший большое влияние на развитие всей математики, а также механики, создал новые методы и приемы, реализовал идеи, которые играют важную роль и в современных исследованиях и приложениях теории чисел (в частности, ученый предложил использовать средства математического анализа при исследовании проблем теории чисел). Основные исследования в теории чисел можно условно сгруппировать по нескольким направлениям.