Читать онлайн «Практические занятия по алгебре и теории чисел»

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов МИНСК «ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА: 1986 ББК 22. 14я73 П69 УДК 512. 5(075. 8) Авторы: М. П. Лельчук, И. И. Полевченко, А. М. Радьков, Б. Д. Чеботаревский Рецензенты: кафедра алгебры Брестского педагогического института; Г. В. Дорофеев, доктор физико-математических наук, профессор МГПИ им. В. И. Ленина 1702030000-021 ©Издательство М304(05)—86 1 й «Вышэйшая школа», 1986. ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая книга адресована в основном студентам физико-математических факультетов пединститутов. Она не является задачником, хотя в некоторых отношениях может его заменить. Все содержание пособия разбито на занятия. Каждое занятие посвящено определенной теме и содержит контрольные вопросы, рекомендованную литературу, образцы решений задач, тест для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения. Разбивка программного материала на параграфы-занятия отражает опыт авторов в реальных условиях преподавания. Использованные задачи частично составлены авторами, частично заимствованы из литературы, список которой приведен в конце пособия. Как правило, в каждом практическом занятии в списке литературы указаны два источника: книга Л. Я- Куликова «Алгебра и теория чисел» и одно из учебных пособий по алгебре и теории чисел, адресованных студентам-заочникам. Однако решения задач не зависят от специфики упомянутых книг, читатель может пользоваться любым изложением курса алгебры и теории чисел. Поэтому в тексте книги почти нет специально сформулированных теоретических положений. Исключение составляет занятие 40, посвященное симплекс-методу. В нем приводятся восемь положений, на которые затем делаются все ссылки при решении задач симплекс-методом. Материал книги апробирован авторами: с 1978 г. он использовался при проведении практических занятий по алгебре и теории чисел в Могилевском пединституте. При этом преследовались две основные цели: 1) организация обязательной и доступной для всех студентов самостоятельной работы; 2) перенесение усвоения алгоритмической части курса алгебры и теории чисел в основном на самостоятельную работу, предшествующую очередному практическому занятию. 3 Авторы благодарят кафедру алгебры Брестского пединститута и выражают признательность доктору физико-математических наук профессору Г. В. Дорофееву за ценные замечания, способствовавшие улучшению книги. Все отзывы на книгу просим присылать по адресу: 220048, Минск, проспект Машерова, 11, издательство «Вы- шэйшая школа». Авторы ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Л — конъюнкция V — дизъюнкция -> — импликация или отображение (смысл символа виден из контекста) <—► — эквиваленция => — логическое следование «=> — логическая эквивалентность V — квантор общности Н — квантор существования а — отрицание высказывания а; число, комплексно-сопряженное числу а; класс вычетов, содержащий целое число а (смысл символа виден из контекста) = — эквивалентность формул логики, сравнимость целых чисел (смысл символа виден из контекста) й— строка из векторов u = (up u2, ... , ил), в частности е = (ер е2, ... , е ) _ базис векторного пространства |а|, | а | —модуль числа, длина вектора а • Ь — скалярное произведение векторов a, b (а1э а2, ... , ал > —линейная оболочка системы векторов L1 — ортогональное дополнение к подпространству L dim L — размерность пространства L Ат — матрица, транспонированная по отношению к матрице А А{ — /-я строка матрицы А Ak — k-й столбец матрицы А а\Ь — целое число а делится на целое число b N, N0, Z, Q, R, С — соответственно множества натуральных, целых неотрицательных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел апап—\ ••• а1а0(а) — запись натурального числа в ^-ичной позиционной системе счисления гЪ — множество всех чисел вида гт, где г — фиксированное рациональное число, am — любое целое число arg 2 — аргумент комплексного числа z ЗАНЯТИЕ 1 ВЫСКАЗЫВАНИЕ.