Читать онлайн «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» В. А. Соколов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета 2014 1 УДК 517. 91 С59 Рецензенты: д-р физ. -мат. наук, профессор А. Р. Абдуллаев (Пермский национальный исследовательский политехнический университет); д-р физ. -мат. наук А. Н. Румянцев (ООО «ИБС Пермь») Соколов, В. А. С59 Обыкновенные дифференциальные уравнения : учеб. пособие / В. А. Соколов. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. – 194 с. ISBN 978-5-398-00998-9 Изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены теоремы существования и единственности решения задачи Коши как для одного уравнения, так и для системы уравнений. Детально рассмотрены методы интегрирования различных типов уравнений, проиллюстрированные примерами и задачами. Также изложены основы теории устойчивости линейных дифференциальных систем. Отдельная глава посвящена линейным уравнениям в частных производных первого порядка. В приложения включены дополнительные сведения из матричного исчисления. Содержание пособия соответствует учебной программе курса обыкно- венных дифференциальных уравнений университетов. Предназначено для студентов факультета прикладной математики и механики ПНИПУ. Также может быть полезно преподавателям, аспирантам и инженерам. УДК 517. 91 ISBN 978-5-398-00998-9 © ПНИПУ, 2014 2  Оглавление Введение ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5 Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7 1. 1. Определения и общие свойства... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 7 1. 2. Уравнения с разделяющимися переменными ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 9 1. 3. Однородные уравнения ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12 1. 4. Линейные уравнения и приводящиеся к ним... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 15 1. 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель ... ... 24 1. 6. Теоремы существования решений уравнения I порядка, разрешенного относительно производной ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29 Глава 2.