Читать онлайн «Алгебраические многообразия и схемы»

УДК 512. 7 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И СХЕМЫ В. И. Данилов СОДЕРЖАНИЕ Введение ]J^ Глава 1. Алгебраические многообразия: основные понятия I/O § 1. Аффинное пространство 177 1. 1. Основное поле 177 1. 2 Аффинное пространство 177 1. 3. Алгебраические подмножества 178 1. 4. Системы алгебраических уравнений и идеалы 179 1. 5. Теорема Гильберта о нулях . . 180 § 2. Аффинные алгебраические многообразия 181 2. 1. Аффинные многообразия 181 2. 2. Абстрактные аффинные многообразия 182 2. 3. Аффинные схемы 183 2. 4. Произведения аффинных многообразий ... . 184 2. 5. Пересечение подмногообразий 184 2. 6. Слои морфизма . 185 2. 7. Топология Зарисского . 186 2. 8. Локализация . 188 2. 9. Квазиаффинные многообразия ... ... . 189 2. 10. Аффинная алгебраическая геометрия ... . 189 § 3. Алгебраические многообразия 190 3. 1. Проективное пространство , . 191 3. 2. Атласы и многообразия 192 3. 3. Склеивание . 193 3. 4. Многообразие Грассмана ... ... . . . . 194 3. 5. Проективные многообразия ... ... . 194 § 4. Морфизмы алгебраических многообразий ... . 195 4. 1. Определения :. '... . . . w 195 4. 2. Произведения многообразий . ... . . 196 4. 3. Отношения эквивалентности . . . . «. 197 4. 4. Проектирование* 19& 4. 5. Морфизм Веронезе 199 4. 6. Морфизм Сегре 200 4. 7. Морфизм Плюккера 200 § 5. Векторные расслоения 201 5. 1. Алгебраические группы ■ . 201 5. 2. Векторные расслоения 202 5. 3. Тавтологические расслоения 202 5. 4. Конструкции с расслоениями 203 § 6. Когерентные пучки ... . . 203 172 6. 1. Предпучки „ . . 203 6. 2. Пучки 204 6. 3. Пучки модулей 205 6. 4. Когерентные пучки модулей 206 6. 5. Пучки идеалов 207 6. 6 Конструкции многообразий 207 § 7. Дифференциальное исчисление на алгебраических многообразиях 208 7. 1. Дифференциал регулярной функции , 208 7. 2. Касательное пространство 210 7. 3. Касательный конус 210 7. 4. Гладкие многообразия и морфизмы > 212 7. 5. Нормальное расслоение 212 7. 6. Касательное расслоение , . . . 213 7. 7. Пучки дифференциалов 213 Тлава 2. Алгебраические многообразия: основные свойства . . . 215 § 1. Рациональные отображения 215 1. 1 Неприводимые многообразия 215 1. 2. Нётеровы пространства 216 1. 3. Рациональные функции . 217 1. 4. Рациональные отображения w 217 1. 5. График рационального отображения 218 1. 6. Раздутие точки 220 1. 7. Раздутие подсхемы 221 § 2. Конечные морфизмы „ 222 2. 1. Квазиконечные морфизмы 222 2. 2. Конечные морфизмы 222 2. 3. Замкнутость конечных морфизмов 223 2. 4. Применение к линейным проекциям 223 2. 5. Теоремы о нормализации 224 2. 6. Теорема о конструктивности . 224 2. 7. Нормальные многообразия 225 2. 8. Открытость конечных морфизмов 225 § 3. Полные многообразия и собственные морфизмы ... . 226 3. 1. Определения 226 3. 2. Свойства полных многообразий 227 3. 3. Полнота проективных многообразий 227 3. 4. Пример полного непроективного многообразия ... . 228 3. 5. Теорема конечности 229 3. 6. Теорема о связности 230 3. 7. Разложение Штейна 231 § 4. Теория размерности 231 4. 1. Комбинаторное определение размерности 231 4. 2. Размерность и конечные морфизмы 232 4. 3. Размерность гиперповерхности - 232 4. 4.