Читать онлайн «Справочное пособие по высшей математике. Том 3»

И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, ГП. Головач МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Справочное пособие по высшей математике. Т. 3 М. : Едиториал УРСС, 2001. — 224 с. «Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной. Том 3 по содержанию соответствует второй половине второго тома «Справочного пособия по математическому анализу». В нем рассматриваются интегралы, зависящие от параметра, кратные и криволинейные интегралы, а также элементы векторного анализа. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико- математических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. Оглавление Глава 1. Интегралы, зависящие от параметра 3 §1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 3 §2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов 15 §3. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла 34 §4. Эйлеровы интегралы 51 §5. Интегральная формула Фурье 60 Глава 2. Кратные и криволинейные интегралы 68 §1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным и их вычисление 68 §2. Несобственные кратные интегралы 99 §3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 112 §4. Интегрирование на многообразиях 148 §5. Формулы Остроградского, Грина и Стокса 184 §6. Элементы векторного анализа 201 §7. Запись основных дифференциальных операций векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах 214 Ответы 222 Глава 1 Интегралы, зависящие от параметра § 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 1. 1. Непрерывность функции А F:y* Jf{x,y)dx. A) а Теорема 1. Если функция f : П — R. где П = {(х, у) \ а < х < А, Ъ ^ у < В}, непрерывна, то функция F непрерывна на отрезке [Ъ, В]. Теорема 2. Если функция f непрерывна на-Я, а кривые х = ч>(у), х = ф(у), у € [6, В], непрерывны и не выходят за его пределы, то функция Ф(у) I:9~ J f(x,y)dx B) непрерывна на отрезке [Ь, В]. 1. 2. Предельный переход под знаком интеграла. Теорема 1. При условиях теорем п. 1. 1 справедливы формулы А А lim / f(x, y)dx= / lim f(x, y)dx, у—«о J J v—sio a a О В6 > О такое, что при 0 < \у — уо| < 6 будет \f(x, у) — g(x)\ < e для всех тех х, для которых функции fug определены. Если уо = оо, то неравенства 0 < |v~1/o| < 6 следует заменить неравенством \у\ > 6; если же уо = +оо(—оо), то тогда неравенством у > S (у < —S). Теорема 2. Если функция f при фиксированном у ?