Читать онлайн «Основания геометрии»

А. В. ПОГОРЕЛОВ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей вузов москва «наука» главная редакция физико-математической литературы 1979 22. 151. 1 И 43 УДК 513. 0 Книга посвящена принципиальным вопросам, связанным с аксиоматическим построением евклидовой геометрии, геометрии Лобачевского, аффинной и проективной геометрий. В частности, в ней рассматриваются вопросы независимости, непротиворечивости и полноты системы аксиом указанных геометрий. Наряду с этим она содержит значительный фактический материал по геометрии Лобачевского, аффинной и проективной геометриям. Изложение отличается простотой и оригинальностью. Книга рекомендуется студентам-математикам всех специальностей. zuzuo—ииу П053(02)-79 Ч-79- 1702040000 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к первому изданию . . ♦♦,. ♦... . 5 Введение # 9 Глава I. Исторический очерк обоснования геометрии 10 § 1. «Начала» Евклида 10 § 2. Попытки доказательства пятого постулата ... 13 § 3. Открытие неевклидовой геометрии 15 § 4. Работы по основаниям геометрии во второй половине XIX в 19 Глава II. Современное аксиоматическое построение евклидовой геометрии 22 § 1. Аксиомы связи. Следствия из аксиом связи . . 22 § 2. Аксиомы порядка. Взаимное расположение точек на прямой и плоскости 24 § 3. Взаимное расположение лучей в пучке. Угол . . 28 § 4. Аксиомы движения. Конгруэнтность фигур ... 30 § 5. Конгруэнтность отрезков, углов, треугольников 33 § 6. Сравнение отрезков и углов и операции над ними 37 § 7. Некоторые соотношения между сторонами и углами треугольника о9 § 8. Аксиома непрерывности 42 § 9, Пересечение прямой с окружностью, пересечение двух окружностей 45 § 10. Измерение отрезков и углов 47 § 11. Аксиома параллельности. Подобие треугольников 50 Глава III. Исследование аксиом евклидовой геометрии . . 54 § 1, Декартова реализация системы аксиом евклидовой геометрии 54 § 2. Выполнимость аксиом евклидовой геометрии в декартовой реализации 55 § 3. Непротиворечивость и полнота системы аксиом евклидовой геометрии 61 § 4- Независимость аксиомы непрерывности ... . 63 § 5. Независимость аксиомы параллельности ... . 65 | 6. 0 зависимости некоторых аксиом движения . . 68 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава IV. Геометрия Лобачевского 73 § 1. Некоторые предложения абсолютной геометрии 73 § 2. Некоторые вспомогательные функции 77 § 3. Теорема Пифагора «в малом» 82 § 4. Линейный элемент плоскости 85 § 5. Полнота системы аксиом геометрии Лобачевского. Изоморфизм всех ее реализаций . 89 § 6. Важнейшие интерпретации геометрии Лобачевского 91 § 7. Некоторые факты геометрии Лобачевского ... 96 Глава V. Основы проективной геометрии 101 § 1. Аксиомы связи. Теорема Дезарга 101 § 2. Гармонические четверки точек 105 § 3. Аксиомы порядка. Аффинная плоскость ... . 108 § 4. Векторы на аффинной плоскости 112 § 5. Аксиома непрерывности. Умножение вектора на число 117 § 6. Декартовы и проективные координаты ... . 122 § 7.