МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УССР
Н. И. Ахиезер
И. М. Глазман
ТЕОРИЯ
ЛИНЕЙНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
ТОМ II
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ХАРЬКОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРИ ХАРЬКОВСКОМ
ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ «ВИЩА ШКОЛА»
1978
517. 5
A95
УДК 517. 5
Теория линейных операторов в гильбертовом
пространстве. Т. И. Ахиезер Н. И. , Глазман И. М. Харьков,
Издательское объединение «Вища школа», 1978, 288 с. Второй том монографии посвящен специальным вопросам
теории операторов, а также приложениям ее к теории
интегральных и дифференциальных уравнений. В ней
рассмотрены спектр и возмущения самосопряженных
операторов, теория расширения и обобщенные спектральные
функции симметрических операторов. Первое и второе издания вышли в издательстве «Наука»
(Москва, 1950, 1966 гг. ). Предназначена для специалистов—математиков и
физиков-теоретиков. Редакция естественнонаучной литературы
И. о. зав. редакцией Я. Я.
Сорокун
20203—602 /Оч Издательское объединение
М226(04)—78 25—4—77 [}JJ «Вища школа», 1978
ГЛАВА Vll
СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
93. Непрерывный спектр самосопряженного оператора. Напомним,
что классификация точек спектра самосопряженного оператора
была дана в п° 48, а затем в п° 82 было установлено, что полный
спектр <5 (А) самосопряженного оператора А совпадает с
множеством точек роста его спектральной функции Et и что множество
точек разрыва функции Et совпадает с совокупностью всех
собственных значений оператора А, т. е. с его точечным спектром
Ж)(А). Чтобы непрерывный спектр самосопряженного оператора А
также охарактеризовать в терминах спектральной функции,
примем для него сейчас новое определение, а затем покажем* его
эквивалентность определению п° 48. Определение. Непрерывный спектр % (А)
самосопряженного оператора А (называемый также предельным спектром или
спектром сгущения) есть совокупность всех неизолированных
точек роста принадлежащего оператору А разложения единицы Et,
а также собственных значений бесконечной кратности. Заметим сразу же, что из этого определения следует
замкнутость множества % (А). Точки непрерывного спектра, подобно собственным значениям
оператора А, могут быть описаны с помощью однородного
уравнения
Л/-Ь/-0. (1)
Однако, в отличие от точек А,е2)(Л), для которых уравнение (1)
имеет точные нетривиальные решения, точки К е % (А)
характеризуются приближенной нетривиальной разрешимостью этого
уравнения. Точный смысл этого утверждения выражает следующая
Теорема 1. ТочкаХ принадлежит непрерывному спектру % (А)
оператора А в том и только том случае, когда в Da существует
бесконечная ортонормированная последовательность элементов fn,
для которой
Vim (Afа-Щ-0. (2)
* См. теорему 3 настоящего пункта.
4
Гл. VII. Спектр и возмущения самосопряженных операторов
Доказательство. Если X с % (А), то X — либо
собственное значение бесконечной кратности оператора А, либо
неизолированная точка роста функции Et. В первом случае в качестве
{/„}" можно взять любую бесконечную ортонормированную
последовательность элементов из принадлежащего X собственного
подпространства. Во втором случае при любом Ь > 0 существует
такое положительное 8'< 8, что подпространство (£x+s—£\-б')Н
составляет правильную часть подпространства (£x+s—£x-s)H.