Читать онлайн «Поверхности ограниченной внешней кривизны»

А. В. ПОГОРЕЛОЕ ПОВЕРХНОСТИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВНЕШНЕЙ КРИВИЗНЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО ХАРЬКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА имени А. М. ГОРЬКОГО Харьков 1956 Ответственный редактор — проф. Я. /7. Бланк Техред актор И. А. Яновицкий. Корректор В. М. Потапов. Подписано к печати 19/VII 1956 г. БЦ Ш917. Формат 84 X Юв1/». Объем 2 б. л. , 6,56 п. л. , 6,5 уч. -изд. л. В 1 печ. л. 40. 000 зн. Тираж 2. 500. Зак. 569. Цена 3 р. 25 к. Типография Издательства Харьковского университета им. А. М. Горького, Харьков, Университетская, 16. ВВЕДЕНИЕ В настоящей работе рассматривается специальный класс гладких поверхностей, которые мы называем поверхностями ограниченной внешней кривизны. Они выделяются из совокупности всех гладких поверхностей требованием ограниченности площади сферического изображения с учетом кратности. Для построения содержательной теории поверхностей, подчиненных такому слабому условию регулярности как гладкость, требование ограниченности площади сферического изображения является естественным и в некотором смысле минимальным. Как показал Нэш [4], риманова метрика, заданная на двумерном многообразии при весьма общих предположениях, допускает реализацию на гладкой поверхности трехмерного эвклидова пространства. Более того, эта реализация осуществляется так же свободно, как топологическое погружение в пространство многообразия, на котором задана метрика. Из результатов Нэша следует, например, что в трехмерном эвклидовом пространстве существует замкнутая поверхность без самопересечений, гомеоморфная тору, локально изометричная плоскости. Совершенно ясно, что сохранить для тладких поверхностей даже со сколь угодно хорошей внутренней метрикой основную в теории поверхностей интегральную теорему о связи между внутренней и внешней кривизной в ее обычной формулировке невозможно. Регулярность внутренней метрики поверхности при наличии только гладкости не дает оснований для такого естественного заключения кая локальная выпуклость при условии положительности гауссовой кривизны. 3 Все это делает необходимым наложить на поверхность другие ограничения, касающиеся ее внешней формы. Наиболее естественным и геометричным является требование ограниченности площади сферического изображения, которое позволяет просто и непосредственно определить важнейшее в теории поверхностей понятие кривизны. Точное определение рассматриваемого класса поверхностей состоит в следующем. Пусть Ф — гладкая поверхность nFlt%F2, ... , Fr— любые попарно непере^ секающиеся замкнутые множества на ней. Сферическое изображение каждого множества Fs является также замкнутым множеством, а следовательно, имеет определенную площадь \*>(FS) (лебегову меру). Поверхность Ф называется поверхностью ограниченной внешней кривизны, если где с\Ф) —- постоянная, не зависящая ни от множеств Fsy ни от их числа. Таким образом, это поверхность, у которой площадь сферического изображения с учетом кратности конечна. Для поверхностей ограниченной внешней кривизны вводится понятие абсолютной внешней кривизны на произвольном множестве.