Читать онлайн «Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка»

КРАЕВЫЕ ЗАДАМИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА А. В. БИЦАДЗЕ А. В. БИЦАДЗЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГШ\ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1966 517. 2 Б 66 УДК 517. 946 2-2-3 70-66 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие б Глава I Вводные замечания 7 § 1. Некоторые определения и обозначения . . 7 § 2. Общие сведения об эллиптических уравнениях второго порядка и краевых задачах 9 § 3. Основные положения теории линейных уравнений в линейных нормированных пространствах 12 § 4. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода ... 15 § 5. Сингулярные интегральные уравнения 18 § 6. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода ... 22 § 7. Условная классификация краевых задач ... ... . · 24 Глава II Некоторые качественные и конструктивные свойства решений эллиптических уравнений 28 § 1. Принцип экстремума 28 § 2. Принцип Хопфа 29 § 3. Принцип Заремба—Жиро 31 § 4. Принцип экстремума для одного класса эллиптических систем 32 § 5. Сопряженные операторы. Формула Грина 33 | 6. Существование решений 36 § 7. Элементарные решения 43 § 8. Главное элементарное решение 46 § 9. Обобщенные потенциалы и их свойства 53 § 10. Общее представление решений одного класса эллиптических систем 62 §11. Гармонические потенциалы простого и двойного слоя и интегралы типа Коши . 70 Глава III Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка 73 § 1. Постановка задачи. Единственность решения 73 § 2. Существование решения задачи (2. 1), (3. 1) 75 1* 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа с двумя независимыми переменными. Функция Грина 80 § 4. Задача Римана — Гильберта и интегральные представления голоморфных функций о . 82 Глава IV Задача Дирихле для эллиптических систем 87 § 1. Предварительные замечания 87 § 2. Единственность решения задачи Дирихле 90 § 3. Эллиптические системы (4. 1) с главной частью в виде оператора Лапласа 91 § 4. Задача Дирихле для эллиптической системы (4. 11) с аналитическими коэффициентами 93 § 5. Задача Дирихле для системы (4. 1) . . 98 § 6. Общее представление решений системы (4. 71) 109 § 7. Задача Дирихле для слабо связанной системы (4. 71) . . 114 § 8. Несколько замечаний относительно сильно связанных систем 117 § 9. Задача Дирихле для системы (4. 96) 121 § 10. Эффект влияния коэффициентов при младших производных . 131 Глава V Задача наклонной производной для уравнения (2. 1). Случай, когда направление наклона не является касательной к границе 133 § 1. Постановка задачи 133 § 2. Исследование задачи Неймана 134 § 3. Сопряженная задача 139 § 4. Исследование задачи наклонной производной (5. 1), (5. 2) в случае, когда условие (5. 4) выполняется 140 Глава VI Задача Пуанкаре для эллиптических систем второго порядка с двумя независимыми переменными 143 § 1. Общие замечания 143 § 2. Задача Пуанкаре для системы (4. 18) с аналитическими коэффициентами 144 § 3. Некоторые частные случаи задачи (4. 18), (6. 1) 147 § 4. Задача Пуанкаре для равномерно эллиптической системы (4. 1) 150 § 5.