Читать онлайн «Разностные схемы с операторными множителями»

АЛ. Самарский П. Н. Вабищевич П. П. Матус РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ С ОПЕРАТОРНЫМИ МНОЖИТЕЛЯМИ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ С ОПЕРАТОРНЫМИ МНОЖИТЕЛЯМИ А. А. Самарский П. Н. Вабищевич П. П. Матус Институт математического моделирования Российской академии наук, Институт математики Национальной академии наук Беларуси Минск 1998 УДК 519. 63 А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус. Разностные схемы с операторными множителями. Минск. — 442 с. — ISBN 985-6366-13-5. В монографии выделен новый класс разностных схем с операторными множителями, к которому принадлежат схемы с переменными весовыми множителями. Развивается теория устойчивости таких двух- и трехслойных разностных схем с несамосопряженными операторами. На основе полученных общих результатов проведено исследование устойчивости и сходимости различных начально-краевых задач для уравнений с частными производными. Строятся адаптивные разностные схемы со сгущением сеток по времени и пространству. Проводится теоретический анализ регионально-аддитивных разностных схем (схем декомпозиции области), ориентированных на построение эффективных вычислительных алгоритмов для параллельных вычи- слитильных систем. Книга расчитана на специалистов по численным методам решения задач математической физики, материал доступен студентам старших курсов университетов. Рецензенты: чл. -корр. НАН Беларуси Л. А. Янович, проф. В. В. Бобков © А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус, ISBN 985-6366-13-5 1998 Содержание 1 Введение 9 2 Двухслойные разностные схемы 19 2. 1 Устойчивость разностных схем 19 2. 1. 1 Каноническая форма 19 2. 1. 2 Общее понятие устойчивости 21 2. 1. 3 ^-устойчивость разностных схем 22 2. 2 Условия устойчивости по начальным данным ... 24 2. 2. 1 Устойчивость в НА 24 2. 2. 2 Устойчивость в Нв 28 2. 2. 3 Условие ^-устойчивости 30 2. 2. 4 Устойчивость схем с весами 33 2. 3 Устойчивость по правой части 38 2. 3. 1 Простейшие оценки в НА, Η в 38 2. 3. 2 Выделение стационарной неоднородности . 41 2. 3. 3 Априорные оценки при более жестких ограничениях устойчивости 46 2. 3. 4 Схемы с весами 53 2. 4 Коэффициентная устойчивость 59 2. 4. 1 Сильная устойчивость дифференциально- операторных схем 60 2. 4. 2 Сильная устойчивость операторно-разнос- тных схем 64 3 Разностные схемы с операторными множителями 68 3. 1 Схемы с В = Ε + tGA 68 ι* 4 Содержание 3. 1. 1 Устойчивость по начальным данным ... . 69 3. 1. 2 Устойчивость по правой части 72 3. 1. 3 Устойчивость в других нормах 77 3. 2 Схемы с В = Ε + τ AG 83 3. 2. 1 Оценки устойчивости по начальным данным 83 3. 2. 2 Устойчивость по правой части 85 3. 2. 3 Априорные оценки в других нормах ... . 86 3. 3 Разностные схемы с В = Е + tT*GT 89 3. 3. 1 Устойчивость по начальным данным ... . 89 3. 3. 2 Оценки устойчивости по правой части ... 91 3. 3. 3 Другие априорные оценки 93 4 Трехслойные разностные схемы 96 4. 1 Устойчивость разностных схем 96 4. 1. 1 Каноническая форма 96 4. 1. 2 Сведение к двухслойной схеме 98 4. 2 Устойчивость по начальным данным 100 4. 2. 1 Необходимые и достаточные условия ... . 100 4. 2. 2 р-устойчивость 103 4. 2. 3 Устойчивость в более простых нормах . . . 106 4. 3 Устойчивость по правой части 113 4. 3. 1 Априорные оценки 114 4. 3. 2 Устойчивость при однородных начальных данных . ·. . ··· 117 4. 3. 3 Схемы с переменными операторами ... . 123 4. 3. 4 Устойчивость в других нормах 125 4. 4 Схемы с весами 132 4. 4. 1 Схемы для эволюционных уравнений первого порядка 132 4. 4. 2 Схемы с весами для эволюционных уравнений второго порядка 138 5 Трехслойные схемы с операторными множителями 141 5. 1 Схемы с D = Ε + 0,5raGiA, В = tG2A 141 5. 1. 1 Устойчивость по начальным данным ... . 141 Содержание 5 5. 1. 2 Другие априорные оценки 145 5. 1. 3 Устойчивость по правой части 148 5. 2 Схемы с D = Ε + 0, 5t2AGu В = tAG2 153 5. 2. 1 Оценки устойчивости по начальным данным153 5. 2. 2 Другие априорные оценки 155 5. 2. 3 Устойчивость по правой части 157 5. 3 Разностные схемы дивергентного типа 161 5. 3. 1 Устойчивость по начальным данным ... . 161 5. 3. 2 Устойчивость по правой части 165 6 Разностные схемы для нестационарных уравнений 170 6. 1 Краевая задача для параболического уравнения . 170 6. 1. 1 Дифференциально-разностная задача ... . 171 6. 1. 2 Двухслойные разностные схемы 175 6. 1. 3 Условия устойчивости 175 6. 1. 4 Сходимость разностной схемы 176 6. 1. 5 Уравнение с разрывным коэффициентом . . 179 6. 1. 6 Многомерные задачи 181 6. 2 Задачи с обобщенными решениями 185 6. 2. 1 Устойчивость в интегральных по времени нормах 186 6. 2. 2 Дифференциальная задача 191 6. 2. 3 Разностная схема 192 6. 2. 4 Погрешность аппроксимации и сходимость 194 6. 3 Разностные схемы для нестационарных задач конвекции-диффузии 201 6. 3. 1 Введение 201 6. 3. 2 Модельные задачи конвекции-диффузии . . 202 6. 3. 3 Устойчивость решения непрерывной задачи 204 6. 3. 4 Разностные операторы конвекции и диффузии 209 6. 3. 5 Разностные схемы для нестационарных задач 215 6. 4 Уравнение Кортевега—де Вриза 220 6. 4. 1 Введение 220 6 Содержание 6. 4. 2 Постановка задачи и основные свойства решения 221 6. 4. 3 Модельное уравнение 223 6. 4. 4 Трехслойные разностные схемы 227 6. 4. 5 Схемы с весами 231 6. 4. 6 Нелинейные схемы 232 6. 4. 7 Неявные консервативные схемы 235 6. 5 Краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка 237 6. 5. 1 Дифференциально-разностная задача ... . 237 6. 5. 2 Разностные схемы 238 6. 5. 3 Погрешность аппроксимации и сходимость 241 6. 5. 4 Задачи с кусочно-гладкими решениями . . 243 6. 5. 5 Многомерное вырождающееся уравнение с диссипацией 251 6. 6 Гиперболо-параболические задачи 256 6. 6. 1 Постановка задачи 256 6. 6. 2 Разностные схемы 258 6. 6. 3 Устойчивость разностных схем с постоянными весами 261 6. 6. 4 Разностные схемы с переменными весовыми множителями 263 6. 6. 5 Погрешность аппроксимации и сходимость 266 7 Схемы на адаптивных сетках 270 7. 1 Разностные схемы на адаптивных сетках по времени для параболического уравнения 271 7. 1. 1 Недивергентные схемы 271 7. 1. 2 Консервативные схемы 283 7. 1. 3 Разностные схемы для задач с обобщенными решениями 291 7. 1. 4 Разностные схемы для многомерных уравнений 294 7. 2 Схемы с адаптацией по времени для волнового уравнения 301 7. 2. 1 Недивергентные схемы 301 Содержание 7 7. 2. 2 Устойчивость и сходимость 305 7. 2. 3 Консервативные схемы 310 7. 3 Разностные схемы декомпозиции области на локально сгущающихся сетках по времени 315 7. 3. 1 Введение 316 7. 3. 2 Модельная задача 317 7. 3. 3 Операторы декомпозиции 318 7. 3. 4 Устойчивость 321 7. 3. 5 Сходимость разностных схем 323 7. 4 Разностные схемы на динамических локально сгущающихся по пространству сетках 325 7. 4. 1 Введение 325 7. 4. 2 Постановка задачи 326 7. 4. 3 Построение схемы с новыми узлами на верхнем слое 327 7. 4. 4 Априорные оценки 330 7. 4. 5 Сходимость 333 7. 4. 6 Другой тип интерполяции 335 7. 4. 7 Случай переменных коэффициентов ... . 337 7. 5 Схемы повышенного порядка аппроксимации на неравномерных по пространству сетках 341 7. 5. 1 Введение 342 7. 5. 2 Разностные схемы для параболического уравнения 342 7. 5. 3 Разностные схемы для гиперболического уравнения 351 7. 5. 4 Разностные схемы для двумерного параболического уравнения 360 8 Разностные схемы декомпозиции области для нестационарных задач 370 8. 1 Методы декомпозиции области 371 8. 1. 1 Введение 371 8. 1. 2 Модельная задача 372 8. 1. 3 Декомпозиция области 374 8. 1. 4 Итерационные разностные схемы 377 8 Содержание 8. 1. 5 Схемы расщепления по пространственным переменным 378 8. 2 Регионально-аддитивные схемы двухкомпонент- ного расщепления 379 8. 2. 1 Постановка задачи 380 8. 2. 2 Разностные операторы декомпозиции области 380 8. 2. 3 Разностные схемы 382 8. 2. 4 Точность разностного решения 384 8. 2. 5 Факторизованные схемы декомпозиции области 388 8. 3 Регионально-аддитивные схемы суммарной аппроксимации 390 8. 3. 1 Модельная задача 391 8. 3. 2 Регионально-аддитивные схемы 392 8. 3. 3 Сходимость схем декомпозиции 395 8. 4 Векторные аддитивные схемы декомпозиции области 399 8. 4. 1 Постановка задачи 400 8. 4. 2 Векторная схема 401 8. 4. 3 Сходимость схемы декомпозиции 402 8. 4. 4 Другие операторы декомпозиции 405 8. 4. 5 Схемы второго порядка ^:о времени 407 8. 5 Схемы декомпозиции области для эволюционных уравнений второго порядка 410 8. 5. 1 Введение 410 8. 5. 2 Постановка задачи 411 8. 5. 3 Векторная задача 413 8. 5. 4 Разностная схема с весами 414 8. 5. 5 Аддитивные схемы 416 8. 5. 6 Устойчивость аддитивных схем 419 8. 5. 7 Уравнение колебаний 421 Литература 424 Глава 1 Введение Для приближенного решения нестационарных задач математической физики при дискретизации по времени наиболее часто используются двух- и трехслойные разностные схемы, которые сочетаются с разностной или конечноэлементной аппроксимацией по пространству.