Читать онлайн «Введение в алгебру. Основные структуры»

И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. — 3-е изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. - ISBN 5-9221-0489-6. Алгебраические структуры, известные из первых двух частей учебника (группы, кольца, модули), изучаются на несколько более высоком уровне. Идеи и результаты теории представлений, подкрепленные многочисленными примерами, придают всему изложению общематематическое звучание. Осо- Особое место занимают конечно порожденные абелевы группы, теоремы Силова, представления и характеры конечных групп, алгебры над классическими полями. Имеются теоретико-числовые приложения. В заключительной главе изложены основы теории Галуа. Второе издание — 2001 г. Для студентов младших курсов университетов и вузов с повышенными требованиями по математике. Ил. 6. © ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001, 2004 ISBN 5-9221-0489-6 © А. И. Кострикин, 2000, 2001 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 7 ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ § 1. Классические группы малых размерностей 9 1. Общие определения (9). 2. Параметризация групп SUB), SOC) A0). 3. Эпиморфизм SUB) —> SOC) A2). 4. Геометри- Геометрическое изображение группы SOC) A4). 5. Кватернионы A4). Упражнения A8). § 2. Смежные классы по подгруппе 19 1. Элементарные свойства A9). 2. Строение циклических групп B2). Упражнения B3). § 3. Действие групп на множествах 23 1. Гомоморфизмы G —> S(?l) B3). 2. Орбиты и стационарные подгруппы точек B4). 3. Примеры действий групп на множес- множествах B6). 4. Однородные пространства C0). Упражнения C1). § 4. Факторгруппы и гомоморфизмы 32 1. Понятие о факторгруппе C2). 2. Теоремы о гомоморфизмах групп C3). 3. Коммутант C7). 4. Произведения групп C9). 5. Образующие и определяющие соотношения D1). Упражне- Упражнения D5). ГЛАВА 2 СТРОЕНИЕ ГРУПП § 1. Разрешимые и простые группы 48 1. Разрешимые группы D8). 2. Простые группы E0). Упраж- Упражнения E4). § 2. Теоремы Силова 54 Упражнения E9). § 3. Конечно порождённые абелевы группы 60 1. Примеры и предварительные результаты F0). 2. Абелевы группы без кручения F1). 3. Свободные абелевы группы конеч- конечного ранга F4). 4. Строение конечно порождённых абелевых групп F6). 5. Другие подходы к проблеме классификации F7). 6. Основная теорема о конечных абелевых группах G1). Упраж- Упражнения G4). Оглавление 4. Линейные группы Ли 74 1. Определения и примеры G4). 2. Кривые в матричных груп- группах G6). 3. Дифференциал гомоморфизма G8). 4. Алгебра Ли группы Ли G9). 5. Логарифм (81). Упражнения (82). ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 1. Определения и примеры линейных представлений 86 1. Основные понятия (86). 2. Примеры линейных представле- представлений (91). Упражнения (95). 2. Унитарность и приводимость 96 1. Унитарные представления (96). 2. Полная приводимость (99). Упражнения A02). 3. Конечные группы вращений 102 1. Порядки конечных подгрупп в SOC) A03). 2. Группы пра- правильных многогранников A05). Упражнения A08). 4. Характеры линейных представлений 109 1. Лемма Шура и её следствие A09). 2.