Читать онлайн «Функциональный анализ и его приложения. Том 7. Выпуск 3»

В нашем журнале публикуются оригинальные работы по актуальным вопросам функционального анализа и его приложений, а также информационные материалы о конференциях и семинарах по функциональному анализу. Журнал выходит 4 раза в год. Максимальный объем статьи с подробными доказательствами— 20 стандартных машинописных страниц, краткого сообщения — 4 машинописные страницы. Том 7, выпуск 3, 1973 г. ИЮЛЬ — СЕНТЯБРЬ Главный редактор журнала И. М. ГЕЛЬФАНД Редакционная коллегия: М. С. АГРАНОВИЧ, В. И. АРНОЛЬД (зам. главного редактора), А. А. КИРИЛЛОВ, А. Г. КОСТЮЧЕНКО, М. Г. КРЕЙН, М. М. ЛАВРЕНТЬЕВ, Б. Я. ЛЕВИН, В. Б. ЛИДСКИЙ, С. Н. МЕРГЕЛЯН, Б. С. МИТЯГИН, М. А. НАЙМАРК, С. П. НОВИКОВ, Л. Д. ФАДДЕЕВ, 3. И. ХАЛИЛОВ, Г. Е. ШИЛОВ (зам. главного редактора) ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Адрес редакции: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, тел. 234-07-95 © «функциональный анализ и его приложения», 1V73. Функциональный анализ и его приложения. т. 7, вып. 3, 1973, 1—17. ЧЕТЫРЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ШКАЛЫ АВТОМОРФИЗМА А. М. Вер шик Введение В работе вводится новый метрический инвариант групп преобразований с инвариантной мерой -— шкала. Он возник в связи с изучением убывающих последовательностей измеримых разбиений и является инвариантом последовательности разбиений, ассоциированной с группой преобразований, именно так он определен в краткой публикации [1]. Здесь мы принимаем иной план и вводим его, возможно, самым естественным путем — с помощью обобщенных эргодических теорем. В этой работе рассматривается лишь циклическая группа автоморфизмов, точнее, один автоморфизм. Шкала автоморфизма, как и энтропия, является грубым инвариантом. Этот инвариант позволяет, однако, различить автоморфизмы с нулевой энтропией и ЛГ-автоморфизмы с равной энтропией. Основной новый эффект, вскрываемый шкалой,— «медленность». Он состоит в аномально медленной сходимости в эргодической теореме для некоторых автоморфизмов, или (иначе) в повторяемости длинных серий значений реализаций случайного процесса, или в плохой равномерной аппроксимации автоморфизма периодическими, или, наконец, в том, что замена времени, необходимая для получения данного автоморфизма из автоморфизма с дискретным спектром, требует большого запаздывания, Другое назначение шкалы в том, что она служит исходным понятием для изучения равномерных периодических аппроксимаций, на этом пути возможно построение комбинаторной теории автоморфизмов, и следует ожидать появления других инвариантов (см. § 4). Каждое из четырех определений шкалы (§§ 1—4) вскрывает какое- либо из ее свойств и помогает их установлению. Для автора исходным было определение § 3, а мотивировкой для изучения — определение § 4. Однако с точки зрения общей теории самыми естественными являются определения §§ 1,2, которые в терминах теории случайных стационарных процессов выглядят как формулировки о структурных свойствах реализаций, о подстановочных эргодических теоремах. В § 3 и в некоторых других местах мы используем теорию убывающих последовательностей измеримых разбиений.