Читать онлайн «Интеграл, мера и производная. Общая теория»

Г. Е. ШИЛОВ, Б. Л. ГУРЕВИЧ ИНТЕГРАЛ, МЕРА И ПРОИЗВОДНАЯ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Издание второе, переработанное ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1967 517. 2 Ш 59 УДК 519. 53 Интеграл, мера и производная (общая теория), Ш и л о в Г. Е. , Г у ре в ич Б. Л. В книге излагаются в современном виде общая теория инте- интеграла для числовых функций и весь круг проблем, связывающих интеграл, меру и производную. В основу изложения теории интеграла положена схема Да- Даниэля. В § 1 излагается общая теория n-кратного интеграла Римана как предела нижних интегральных сумм или, что то же, как предела интегралов возрастающей последовательности некоторых ступенчатых функций. Такое определение интеграла допускает широкое обобщение путем аксиоматизации некоторых свойств ин- интегралов от ступенчатых функций. В § 2 исходным объектом является совокупность элементарных функций на произвольном множестве с интегралом, подчиненным некоторым аксиомам. При расширении совокупности элементарных функций путем монотонных предель- предельных переходов и образования разностей получается пространство суммируемых функций, полное относительно нормы, связанной с интегралом. В §§ 3—5 рассматриваются классические интегралы Лебега, Римана—Стнлтьеса и Лебега—Стилтьеса от функции п переменных. В §§ 6—8 строится теория меры на основании общей схемы § 2. В § 9 на пространстве с мерой рассматриваются аддитивные функции множеств и устанавливается их каноническое разложение на абсолютно непрерывную, сингулярно непрерывную и дискрет- дискретную части. Абсолютно непрерывные составляющие как функции множеств суть интегралы по этим множествам от некоторой сум- суммируемой функции — это известная теорема Радона—Никодима. В § 10 рассматриваются три типа дифференцирования функ- функций множеств: относительно сети де Посселя, относительно систе- системы Витали и относительно системы всех суммируемых подмно- подмножеств. Во всех случаях устанавливается существование производ- производных и их совпадение с плотностью абсолютно непрерывной состав- составляющей. Иллюстраций 2. Библиографических ссылок 10. 2-2-3 9S-67 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Глава I. Интеграл § 1. Интеграл Римана и ступенчатые функции 8 1. Интеграл Римана (8). 2. Верхний и нижний интегралы A0). 3. Ступенчатые функции A3). 4. Множества меры 0 и множества полной меры A5). 5. Дальнейшие свойства ступенчатых функ- функций A8). 6. Применения к теории интеграла Римана B0). 7. Инва- Инвариантное определение верхней и нижней функции и критерий Лебега B2). 8. Идея обобщения B3). Задачи B5). § 2. Общая теория интеграла 26 I. Элементарные функции и элементарный интеграл B6). 2. Мно- Множества меры 0 и множества полной меры B7). 3. Класс L н интеграл в нем B9). 4. Свойства интеграла в классе L+ C0). 5. Класс L и интеграл в нем C2). 6. Теорема Беппо Леви C4). 7. Теорема Лебега C7). 8. Вопрос о суммируемости предельной функции при сходимости почти всюду. Лемма Фату C9). 9. Тео- Теорема о полноте пространства L D0). 10.