Читать онлайн «Краткий курс высшей математики: Часть 2: Учебное пособие»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Н. В. ПОНОМАРЕВА, Т. А. ТАРАСОВА КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2 Рекомендовано Ученым советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия для студентов заочной формы обучения Оренбург 2003 ББК 22. 1 я73 П 56 УДК 51(07) Рецензент декан вечернего и заочного факультета к. т. н. Коршунова Т. И. Пономарева Н. В. , Тарасова Т. А. П 56 Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2003. – 101 с. ISBN Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей заочной формы обучения. ББК 22. 1я 73 © Пономарева Н. В. , 2003 © Тарасова Т. А. , 2003 ISBN © ГОУ ОГУ, 2003 2  Введение Предлагаемая работа является учебным пособием для студентов заочной формы обучения и включает все разделы математического анализа, предусмотренные программой экономических факультетов. Учебное пособие не содержит доказательств теорем, но учитывая самостоятельное изучение материала, снабжено достаточным количеством примеров, иллюстрирующих те или иные теоретические положения. При написании учебного пособия авторы ставили цель помочь студентам, самостоятельно изучающим математику, развивать аналитическое мышление и получить навыки в решении задач. 3  1 Интегралы 1. 1 Неопределенный интеграл Рассмотрим функцию y = f(x), определенную на множестве Х. Поставим задачу: требуется найти функцию F(x) такую, что в каждой внутренней точке множества Х было бы справедливо равенство F ′( x ) = f ( x ). Отметим, что эта задача легко решается для многих элементарных функций. Например, функция y = cos x определена на R. Найдём для неё F(x). Очевидно, что: F1 ( x ) = sin x , т. к. ∀x ∈ R : (sin x )′ = cos x ; ′ 1  1 F2 ( x ) = sin x − , т. к. ∀x ∈ R :  sin x −  = cos x и т. д. ; 2  2 F ( x ) = sin x + C , где C = const, т. к. ∀x ∈ R : (sin x + C )′ = cos x . Выводы, которые мы можем сделать из этого примера и из поставленной выше задачи: 1) если для функции y = f(x) существует F(x), то F(x) дифференцируема в каждой внутренней точке множества Х; 2) если для функции y = f(x) существует хотя бы одна функция F(x), то существует бесчисленно много таких функций, и все они отличаются друг от друга на произвольную постоянную.