Читать онлайн «Когомологии Галуа»

LECTURE NOTES IN MATHEMATICS БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА . МАТЕМАТИКА" Edited by A. Dold, Heidelberg and 3. Eckmann, Zurich Ж. -П. CEPP JEAN-PIERRE SERRE Cohomologie Galoisienne КОГОМОЛОГИИ ГАЛУА SPRINOER VERLAO Berlin • OOttingen ¦ Heidelberg • New York 1964 . Перевод с французского И. В. ДОЛГАЧЕВА н^В. А. ИСКОВСКИХ Под редакцией Ю. И. МАНИНА ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" Москва 1968 УДК 519. 44 ПРЕДИСЛОВИЕ Книга написана на основе лекций, прочитанных видным французским математиком. С присущим автору мастерством в этих лекциях изложены основы теории когомологий топологических вполне несвяз- несвязных групп и их многочисленные приложения к теории чисел и алгебраической геометрии, концентрирую- концентрирующиеся вокруг понятий когомологической размерности поля, диофантовых проблем в теории алгебраических групп и задач двойственности. Книга представляет большой интерес для мате- математиков различных специальностей, начиная со сту- студентов старших курсов. Эти заметки воспроизводят с некоторыми изменениями курс лекций, прочитанный автором в Коллеж де Франс в 1962—1963 году. Кроме того, в них содержатся не- неопубликованные результаты Тейта (дополнение к гл. I) и Вердье, касающиеся двойственности проконечных групп. Первоначальный вариант этих заметок, написанный Мишелем Рейно, был для меня весьма полезен. Я ему чрезвычайно благодарен. Жан-Пьер Серр Редакция литературы по математическим наукам Инд. 2-2-3 ГЛАВА I КОГОМОЛОГИИ ПРОКОНБЧНЫХ ГРУПП Гл. I. Когомологии проконечных групп § 1. ПРОКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 1. 1. Определение Проконечной группой называется топологическая груп- группа, которая является проективным пределом конечных групп (снабженных дискретной топологией). Каждая такая группа компактна и вполне несвязна. Обратно, если группа О компактна и вполне несвязна, то она обладает базой окрестностей единицы, образованной открытыми нормаль- ными делителями U, и ее можно отождествить с limO/L/. Это показывает, что О проконечна. Проконечные группы образуют категорию (морфизмами являются непрерывные гомоморфизмы), в которой суще- существуют бесконечные произведения и проективные пределы. Примеры. A) Пусть ЦК— расширение Галуа поля К. Группа Галуа этого расширения О(ЦК) является, по са- самому построению, проективным пределом групп Галуа G(L[/K) конечных нормальных расширений Ц/К, содер- содержащихся в ЦК; следовательно, О (ЦК) — проконечная группа. B) Компактная аналитическая группа над полем р-ади- ческих чисел Qp является проконечной группой (как топо- топологическая группа). В частности, SLn(Zp), Sp,(Zp), ... — проконечные группы. C) Пусть О — дискретная группа и б — проективный предел ее конечных факторгрупп. Группа б называется проконечной группой, ассоциированной с О. Это отделимое пополнение группы О относительно топологии, определен- определенной подгруппами конечного индекса. В частности, ядро естественного отображения G->Q является пересечением подгрупп конечного индекса. 1. 2. Подгруппы Каждая замкнутая подгруппа Н проконечной группы G является также проконечной группой.