1
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М. В. ЛОМОНОСОВА
ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ
СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА
ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
ЛЕКТОР – ПРОФ. ЧИРСКИЙ В. Г. МОСКВА -2008
2
Уважаемый читатель! Это пособие написано на основе тех лекций, которые я прочитал в
первом семестре 2008 года студентам первого курса. Цель его написания
– облегчить процесс подготовки к экзамену, оно поможет привести в систему
Ваши знания. Поэтому в пособие включён не весь лекционный материал, а
лишь та его часть, которая вошла в экзаменационные билеты и,
следовательно, оно не является полной заменой Вашему собственному
конспекту. Обращу Ваше внимание на то, что предыдущие версии якобы
«конспекта моих лекций» содержат вопиющие ошибки. Таких «лекций» я не
читал. «Конспектов» тем более не писал. Те, кто рискнут по ним готовиться к
экзамену – смелые, но безответственные люди. Конечно, этот текст тоже может содержать опечатки. Я буду
благодарен всем, кто отметит их, или выскажет другие замечания. В заключение выражаю искреннюю благодарность Вашим коллегам,
студентам 1 курса 2006г О. Степановой, П. Рудаковской, Е. Гаранину, А. Климову,
В. Пичужкину, А. Плеханову, которые помогли в подготовке этого пособия. Также выражаю благодарность старосте первого курса 2008г. Каменеву Е. И.
и студентам первого курса 2008г. Денисову С. С. и Яско И. С. за редакцию и
внесение изменений в работу предшественников. С наилучшими пожеланиями
Ваш лектор В. Г. Чирский
3
Билет 1. Множества и операции над ними
1. 1. Понятие множества
Понятия множества и его элемента относятся к числу первичных,
неопределяемых понятий математики. К таким же понятиям относятся точка,
прямая линия и др. Вместо определения такого понятия приходится
обходиться его описанием. Создатель теории множеств Георг Кантор в 1872
году описал понятие множества, как «объединения в одно целое объектов,
хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью». Мы будем говорить, что определено некоторое множество М объектов,
если указан признак, который позволяет относительно каждого предмета х
сказать, принадлежит ли этот предмет множеству М, или нет. Элементы множеств в дальнейшем будем записывать строчными
латинскими буквами, сами множества – прописными. Обозначение a A
используется, как краткая запись утверждения: а есть элемент множества А,
или: а принадлежит А. Аналогично, обозначение a A используется, как
краткая запись утверждения: а не является элементом множества А, или: а
не принадлежит А. Множество, не имеющее элементов, называется пустым и
обозначается . Укажем ряд способов задания множеств. Во-первых, можно просто
перечислить все элементы множества, если этих элементов – конечное число,
т. е.