Читать онлайн «Спивак А.В. Арифметика-2»

ВЫПУСК Библиотечке КВАНТ БИБЛИОТЕЧКА КВАНТ ВЫПУСК Приложение к журналу «Квант» № 5/2008 А. В. Спивак Арифметика-2 0010635 Москва 2008 УДК 511. 3(082) Серия ББК 22 130 х «Библиотечка «Квант» \ if&fDYi основана в 1980 г. РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ! Б. М. Болотовский, А. А. Варламов, В. Л. Гинзбург, Г. С. Голицын, Ю. В. Гуляев, М. И. Каганов, С. С. Кротов, С. П. Новиков, Ю. А. Осипьян (председатель), В. В. Произволов, Н. Х. Розов, А. Л. Стасенко, В. Г. Сурдин, В. М. Тихомиров, А. Р. Хохлов, А. И. Черноуцан (ученый секретарь) С72 Спивак А. В. Арифметика-2. -М. : Бюро Квантум, 2008. — 160с. (Библиотечка «Квант». Вып. 109. Приложение к журналу «Квант» № 5/2008. ) ISBN 5-85843-067-8 Книга посвящена таким вопросам элементарной теории чисел, как суммы квадратов и уравнения Пелля. Эти темы рассмотрены всесторонне и подробно. В обоих случаях изложение развивается от простых соображений, доступных семикласснику, до довольно сложных и неожиданных фактов. В книге множество задач и примеров. Может служить учебным пособием для математических классов и кружков. Адресована школьникам 7-11 классов, учителям, а также всем любителям математики. ББК 22. 130 ISBN978-5-85843-080-3 © Бюро Квантум, 2008 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 4 РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ 5 Решето Эратосфена 5 Алгоритм Ферма 6 Алгоритм Дрэма 7 НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ 10 СУММЫ КВАДРАТОВ 12 Часть I. Первые наблюдения 12 Часть II. Критерий Жирара 21 Часть III. Комплексные числа 37 Часть IV. Целые гауссовы числа 42 Часть V. Количество представлений 48 Часть VI. Суммы четырех квадратов 52 УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ 57 Часть I. Примеры 57 Часть II. Структура решений 74 Часть III. Поиск нетривиального решения 91 Часть IV. Уравнение Сух~х = Сух_х 100 ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ 105 ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707-1783) 107 КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777-1855) 112 Решения 116 ПРЕДИСЛОВИЕ В первой части «Арифметики» речь шла об алгоритме Евклида, основной теореме арифметики, рядах Фарея, периодических дробях, малой теореме Ферма, числах Фибоначчи, цепных дробях и квадратичном законе взаимности. Основное содержание второй части — всестороннее обсуждение сумм квадратов и уравнений Пел ля. В обоих случаях мы начинаем с простых соображений, доступных семикласснику, а заканчиваем довольно трудными — даже изысканными — сведениями. Подробно изложены классические рассуждения, в частности, метод бесконечного спуска, которым очень гордился Пьер Ферма. При написании этой книги произошли два чуда. На клетчатой бумаге, абсолютно наглядно, мне удалось изобразить доказательство теоремы Ферма-Эйлера (см. раздел «Крылатые квадраты» статьи «Суммы квадратов»). И — когда рукопись уже была отдана в набор — я прочитал статью австралийца Вайлдбергера, которая разительно сокращает и проясняет классическое изложение теории уравнений Пел- ля. Я успел внести соответствующие изменения, хотя и не все: будь моя воля, в свете новых знаний изменил бы и статью «Цепные дроби» первой части «Арифметики». Но внести поправку в изданную в прошлом году книжку не в моих силах. Обе части «Арифметики» рассчитаны на вдумчивое неоднократное чтение и могут служить основой для факультативных курсов по математике.