Читать онлайн «Однолистные функции и конформные отображения»

Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete UNIVALENT FUNCTIONS AND CONFORMAL MAPPING by James A. Jenkins SPRINGER-VERLAG BERLIN • GOTTINGEN • HEIDELBERG 1958 ДЖ. ДЖЕНКИНС ОДНОЛИСТНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Перевод с английского В. П. X АВИН А ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1962 АННОТАЦИЯ Небольшая монография из известной серии «Ergeb- nisse» содержит обзор результатов ряда исследовате- исследователей, и в том числе самого автора — видного американ- американского аналитика, по современной геометрической теории функций комплексного переменного. Особое место за- занимает изложение вариационных методов, и в особен- особенности так называемого метода экстремальных длин, нашедшего в последние годы важные применения в тео- теории функций. Все основные результаты приведены с доказательствами; в книге имеется обширная биб- библиография. Книга доступна студентам университетов, пред- представляет несомненный интерес для специалистов по теории функций комплексного переменного и для ма- математиков, работающих в смежных областях. Редакция литературы по математическим наукам Моим родителям ПРЕДИСЛОВИЕ Эта монография посвящена применению метода экс- экстремальных метрик к теории однолистных функций. По- Поэтому мы не пытались излагать другие методы исследо- исследования, если не считать вводной главы, в которой дан краткий обзор развития этой теории. Тем не менее сила излагаемого метода такова, что он позволяет получить большую часть известных ранее результатов теории од- однолистных функций. Нужно заметить, что здесь метод экстремальных метрик использован для приложений в теории однолистных функций, а многочисленных других его приложений, в частности, к теории квазиконформных отображений, мы не касаемся. Заметим еще, что мы не пытались составить исчерпывающую библиографию, и ссылки сделаны лишь на те источники, которые цитиро- цитировались в тексте. Центральной темой нашей работы является общая теорема о коэффициентах, содержащая в качестве част- частных случаев значительное число известных результатов об однолистных функциях. В последней главе мы даем также некоторые приложения метода симметризации. Джеймс А. Дженкинс Нотр-Дам, июнь 1957 г. Глава I ВВЕДЕНИ Е 1. 1. В настоящее время изучение однолистных функ- функций состоит в исследовании некоторых семейств функ- функций, регулярных или мероморфных и однолистных в за- заданных односвязных или многосвязных областях, при- причем особенно интересуются значениями, которые эти функции принимают, и экстремальными задачами для коэффициентов степенных разложений самих функций и их производных. Такие задачи часто оказываются тесно связанными с вопросами теории конформных отображе- отображений и во многих случаях из этих вопросов и возникают. Дадим сначала Определение 1. 1. Пусть функция f(z) регулярна или мероморфна в области D на z-сфере. Тогда / (z) называ- называется однолистной, если для гъ г2 £ D, гг =£ z2 имеем В большей части нашей работы без ограничения общ- общности можно рассматривать функции, нормированные определенным образом.