Читать онлайн «Задачи и теоремы теории ассоциативных колец: учебное пособие»

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») Задачи и теоремы теории ассоциативных колец Учебное пособие Под научной редакцией Ю. Н. Мальцева Барнаул ФГБОУ ВО «АлтГПУ» 2018 УДК 512. 54(075) ББК 22. 144. 3я73 3-154 Коллектив авторов: Журавлев Е. В. , Исаев И. М. , Кислицин А. В. , Мальцев Ю. Н. , Монастырева А. С, Петров Е. П. Задачи и теоремы теории ассоциативных колец : учебное пособие / Е. В. Журавлев, И. М. Исаев, А. В. Кислицин и др. ; под науч. ред. Ю. Н. Мальцева. - Барнаул : АлтГПУ, 2018. - 334 с. ISBN 978-5-88210-924-9 Рецензенты: Колесников П. С, доктор физико-математических наук, профессор РАН (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН); Финогенова О. Б. , доктор физико-математических наук, доцент (Уральский федеральный университет) Данное издание составлено применительно к учебному пособию Ю. Н. Мальцева, Е. В. Журавлева «Лекции по теории ассоциативных колец» (2015 г. ). Цель книги - обеспечить более глубокое усвоение следующих курсов, читаемых в Алтайском государственном педагогическом университете и Алтайском государственном университете: теория колец, универсальная алгебра, а также предоставить бакалаврам, магистрантам и аспирантам материал для самостоятельной работы. Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов, магистрантов и аспирантов математических факультетов университетов, специализирующихся по алгебре, а также для преподавателей вузов и научных работников. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 27. 09. 2018 г. ISBN 978-5-88210-924-9 © Алтайский государственный педагогический университет, 2018 Оглавление Оглавление Список обозначений 4 Предисловие 7 1. Свойства элементов колец и некоторые основные конструкции теории колец 8 2. Тела, поля. Многочлены над полями 55 3. Алгебраические расширения полей. Элементы теории Галуа (над полем характеристики нуль) 82 4. Коммутативные кольца 113 5. Китайская теорема об остатках. Лемма Гензеля 146 6. Нетеровы кольца 166 7. Радикал Джекобсона. Примитивные кольца 181 8. Ниль-кольца. Первичные и полупервичные кольца... 239 9. Кольца с тождественными соотношениями 260 10. Условия коммутативности для колец 285 11. Групповые алгебры. Группы обратимых элементов колец 298 Литература 328 3 Список обозначений Список обозначений В тексте используются следующие обозначения: N - множество натуральных чисел, Ζ - группа или кольцо целых чисел, Q - группа или поле рациональных чисел, R - поле вещественных чисел, С - поле комплексных чисел, '-1,-1 тело кватернионов, Ъп - кольцо классов вычетов по модулю п, Μ/Ν - фактормодуль, где Μ - правый Д-модуль, N - подмодуль М, А(М) - аннулятор модуля М, (αϊ, 02,... ) - подкольцо (или подалгебра), порожденное элементами Οι, θ2, · · ·, (&ι, &2, · · ·) - идеал, порожденный элементами 61,62, · · ·, Ф(ж1,Ж2, · · ·) - свободная ассоциативная алгебра над коммутативной алгеброй Ф, F(X)1 - свободная ассоциативная алгебра с единицей над полем F, Ф?г(ж) - круговой многочлен степени φ(η), ΣφΜ,- прямая сумма модулей, Σ Φ Ri ~ подпрямая сумма колец Ri, г € I, ίζΐ s tv(A) - след матрицы А, \А\ - определитель матрицы А, \F\ - мощность множества F, [х] - целая часть числа ж, [х,у] = ху — ух - коммутатор элементов ж, у, [жι,... ,хп] = [\%i,---,Xn-i],xn], при п> 3 Ng(x) - централизатор элемента ж в группе G, 4 Список обозначений char Л - характеристика поля (алгебры) А, eij - матричная единица, К[[ж]] - кольцо формальных степенных рядов от переменной ж с коэффициентами из поля К, Сп - циклическая группа порядка п, [А : Κ\ι - левая размерность кольца А над подтелом К, [А : К]г — правая размерность кольца А над подтелом К, μ(η) - функция Мебиуса, φ{η) - функция Эйлера, ( σ / символ Лежандра, degf(x) - степень многочлена /(ж), с(/) - содержание многочлена /(ж) (наибольший общий делитель коэффициентов /(ж)), К(а) - расширение поля К, полученное присоединением элемента а, GF(q), Fq - конечное поле порядка q, K\F - поле К - расширение поля F, Ιττ(θ, F, ж) - неприводимый многочлен элемента θ над полем F, К\К2 - композит полей К\ и К2, G(E, F) - группа Галуа нормального расширения Ε над полем F, KG - поле инвариантов группы автоморфизмов G поля К, Gf - группа Галуа поля разложения многочлена /(ж).