Читать онлайн «Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике»

КАКИЛЬЧЕВСКИЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА Н. А. КИЛЬЧЕВСКИЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1954 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Введение • 9 ГЛАВА I ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ А. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА § 1. Скаляры и векторы 11 § 2. Сложение векторов 14 § 3. Скалярное произведение векторов 16 § 4. Векторное произведение 17 § 5. Комбинированные действия 22 § 6. «Деление» векторов 24 7. Применение прямоугольной декартовой системы координат 26 § 8. Примеры 29 Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ § 9. Дифференцирование векторных функций скалярного аргумента 30 § 10. Интегрирование векторных функций скалярного аргумента 32 ГЛАВА II ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ А. ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА § 11. Контравариантные и ковариантные компоненты вектора 34 § 12. Преобразование компонент вектора 36 § 13. Скалярное произведение в косоугольной системе координат 39 § 14. Зависимость между контравариантными и ковариантными компонентами вектора 41 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 15. Векторное произведение в косоугольной декартовой системе координат 42 § 16. Псевдовектор 42 § 17. Обобщение аналитического определения вектора. Простейшие тензоры 44 § 18. Общее определение тензора 46 § 19. Метрический тензор . . . 48 § 20. Симметричные и антисимметричные тензоры второго ранга 48 § 21. Мгновенная угловая скорость абсолютно твердого тела как антисимметричный тензор второго ранга 51 Б. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА § 22. Перестановка индексов и сложение тензоров 53 § 23. Применения действия сложения. Симметрирование и альтернирование 54 § 24. «Опускание» и «поднятие» индексов 56 § 25. Умножение тензоров 57 § 26. Свертывание тензоров 57 § 27. Простейшие примеры применения тензорной алгебры . . 58 § 28. Связь между тензорами и теорией алгебраических поверхностей 59 § 29. Второе аналитическое определение тензора 61 § 30. Аффинные преобразования 62 § 31. Оператор вращения (версор) 63 § 32. Сложение вращений 64 § 33. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве 67 § 34. Криволинейные координаты в пространстве п измерений 70 В. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ § 35. Абсолютный дифференциал вектора 74 § 36. Абсолютные дифференциалы тензоров высших рангов . . 77 § 37. Параллельный перенос тензора, отнесенного к криволинейным координатам 78 § 38. Тензор кривизны (тензор Римана-Кристоффеля) 81 § 39. Простейшие свойства тензора кривизны 84 § 40. Тензорное поле 86 § 41. Ковариантная производная 87 § 42. Градиент скалярной функции 89 § 43. Расхождение и вихрь вектора 90 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 44. Оператор Гамильтона 91 § 45. Интегральные теоремы векторного исчисления 93 § 46. Ортогональные криволинейные координаты 98 ГЛАВА III ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК § 47. Уравнения движения свободной материальной точки в криволинейных координатах 101 § 48. Цилиндрические и сферические координаты 102 § 49.