Читать онлайн «Элементы функционального анализа в задачах»

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Московский государственный заочный педагогический институт В. А. ПЕТРОВ, Н. Я. ВИЛЕНКИН, М. И. ГРАЕВ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА В ЗАДАЧАХ Задачник-практикум для студентов-заочников IV курса физико-математических факультетов педагогических институтов МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978 Рекомендовано к печати Главным управлением высших и средних педагогических учебных заведений Мини- Министерства просвещения РСФСР Редактор МГЗПИ — О. А. Павлович. Рецензенты: А. Г. Мордкович, А. С. Симонов, Л. М. ПРЕДИСЛОВИЕ р данном задачнике рассматриваются разделы курса математи- математического анализа «Мощность множества» и «Элементы функциональ- функционального анализа», которые не освещены в существующей учебной ли- литературе для студентов-заочников. Пособие существенно отличается от традиционного задачника- практикума. Авторы стремились дать студенту-заочнику единую компактную книгу, в которой он мог бы найти и краткое изложение (петит и ряд задач-теорем с решениями) предусмотренного програм- программой теоретического материала, и образцы решения различных упраж- упражнений, и большое число задач для самостоятельного решения. При решении задач студент может использовать утверждение любой предыдущей (но не последующей) задачи. Иногда материал задачника выходит за рамки программы. Этим преследовалась цель — дать материал для курсовых работ или спецсеминаров. Более сложные задачи отмечены звездочкой. В пособии отражен опыт работы авторов со студентами-заочни- студентами-заочниками в Московском заочном и Смоленском педагогических институ- институтах. Первоначальный вариант книги был написан В. А. Петровым, а последующая доработка осуществлялась им совместно с Н. Я- Ви- ленкиным и М. И. Граевым, которым принадлежат часть задач пояснительного текста и ряд предложений, касающихся порядка изложения материала. При рассмотрении топологических понятий авторы использо- использовали некоторые методические идеи (в частности, использование по- понятия граничной точки для определения открытых и замкнутых множеств) М. Б. Балка, которому выражают глубокую благодар- благодарность за разрешение воспользоваться этими идеями. § 1 МОЩНОСТЬ 1 МНОЖЕСТВА Отображением множества А в множество В называется соответствие /, относящее каждому элементу из Л единственный элемент из В. Запись /: А^-В означает, что / является отображением А в В. Элемент из В, соответствующий заданному элементу х ? А, называется образом х при отображении /. Множество всех элементов из А, имеющих образом один и тот же элемент у ? В, называется прообразом у при отображе- отображении / и обозначается через /~J (у). 1. 1. Задает ли функция x-Mg x отображение множества дейст- действительных чисел в себя? 1. 2. Пусть Л — множество оценок {2, 3, 4, 5}, Б — множество студентов, сдававших экзамен по математическому анализу. По- Поставим в соответствие каждому студенту полученную им оценку, и обратно: каждой оценке получивших ее студентов.