Читать онлайн «Некоторые результаты по геометрии в целом»

А. В. ПОГОРЕЛОВ НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ В ЦЕЛОМ ИЗДАТЕЛЬСТВО ХАРЬКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА им. А. М. ГОРЬКОГО Харьков 1961 Работа содержит исследование ряда вопросов геометрии «в целом». В частности рассмотрены: проблема регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой в пространствах постоянной кривизны, изометрическое погружение в целом двумерного риманова многообразия в трехмерное, изометрические преобразования пунктированных поверхностей в эвклидовом пространстве, жесткость неодносвязных поверхностей в рима- новом пространстве. Книга рассчитана у на студентов, аспирантов и научных работников в области геометрии. Ответственный редактор #. П. Бланк. ВВЕДЕНИЕ Настоящая работа посвящена исследованию ряда вопросов геометрии «в целом». Некоторые ш них рассматривались в предыдущих публикациях автора и здесь получают дальнейшее продвижение или окончательное решение. Другие вопросы рассматриваются влервые. Первый . параграф работы содержит исследование регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой в пространстве Лобачевского. Для случая эвклидова и эллиптического пространства такое исследование проведено в работах автора fll] и [2]. В заметке [3] решение вопроса было намечено для любого пространства постоянной кривизны. Однако это решение для случая пространства Лобачевского нельзя считать удовлетворительным, так как оно относится только к поверхностям положительной гауссовой кривизны. В настоящей работе вопрос о регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой в пространстве Лобачевского получил та* кое же естественное решение, как для эвклидова и эллип-4 тического пространств. Теперь мы можем формулировать теорему для случая любого пространства постоянной кривизны в следующей естественной форме: Если выпуклая поверхность в пространстве постоянной кривизны имеет регулярную метрику и гауссова кривизна ее всюду больше кривизны пространства, то поверхность регулярна. Именно, если метрика поверхности к раз дифференцируема (к> 5), то поверхность дифференцируема по крайней мере к — 1 раз. Если метрика поверхности аналитическая, то поверхность аналитическая. Во втором параграфе работы рассматривается вопрос об оценках нормальных кривизн замкнутой, гомеоморф- ной сфере поверхности с положительной внешней кривиз- 3 ной в трехмерном римановом лространстве. ^Полу^ение этих оценок является одним из основных этапов в решении проблемы изометрического погружения в целом> двумерного риманова многообразия © трехмерное. Вопрос об оценках нормальных кривизн замкнутой ловерхности в римановом пространстве рассматривался автором в работе [1], где такие оценки и получены для любого рима- нова пространства, однако при условии, что гауссова кривизна поверхности больше некоторой постоянной &*, зависящей от кривизны пространства. В настоящей работе вопрос об оценках нормальных кривизн замкнутой по^ верхности в римановом лространстве неположительной кривизны получил решение при естественном условии положительности внешней кривизны.